Четверные числа Павлова

Дмитрий Павлов, исследователь тайн нашего мира, в качестве алгебры описания пространства предложил использовать алгебру четверных чисел:

https://www.youtube.com/watch?v=60TTJFWexAE

Числа алгебры коммутативны по умножению, поэтому на мой взгляд ей описать всё не получится. Например, 3-мерные повороты некоммутативны. Но рассмотрим какова эта алгебра и какие свойства она имеет.

У алгебры четверны чисел 3 мнимых единицы с таблицей произведений $$\begin{array}{c} ii = jj = kk = 1 \\ ij=ji=k \\ jk=kj=i \\ ki=ik=j \end{array}$$ Нет, эта алгебра не изоморфна алгебре комплексных чисел, используя в качестве базисных единиц $$e^{i2\pi k/n}$$ где $n$ - число единиц и $k$ - номер единицы.

Эту алгебру можно образовать если сначала взять алгебру паракомплексных чисел $$\begin{array}{c} c = c_0+ic_1 \\ i^2=1 \end{array}$$ После чего удвоить ее $$b=(b_0+ib_1)+j(b_2+ib_3)$$ Произведение единиц $ij$ также есть мнимая единица ($k$). У единицы удвоения $j$ свойства: $$\begin{array}{c} jj=1 \\ ij=ji=k \end{array}$$ Для получения матричного представления четверных чисел выпишем покомпонентно результат произведения таких чисел: $$z=xy$$ $$\begin{array}{c} (x_0+ix_1+jx_2+kx_3)(y_0+jy_1+jy_2+ky_3)=\\ = x_0y_0 + ix_0y_1 + jx_0y_2 + kx_0y_3 + \\ + ix_1y_0 + x_1y_1 + kx_1y_2 + jx_1y_3 + \\ + jx_2y_0 + kx_2y_1 + x_2y_2 + ix_2y_3 + \\ + kx_3y_0 + jx_3y_1 + ix_3y_2 + x_3y_3 \end{array}$$ Сгруппировав покомпонентно при соответствующих мнимых единицах, получим: $$\begin{array}{c} z_0 = x_0y_0 + x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3 \\ z_1 = x_1y_0 + x_0y_1 + x_3y_2 + x_2y_3 \\ z_2 = x_2y_0 + x_3y_1 + x_0y_2 + x_1y_3 \\ z_3 = x_3y_0 + x_2y_1 + x_1y_2 + x_0y_3 \end{array}$$ В матричном виде эта система уравнений эквивалентна произведению матрицы на столбец: $$\left( \begin{array}{c} z_0 \\ z_1 \\ z_2 \\ z_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & x_1 \\ x_3 & x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{array} \right)$$ Соответственно, если имеющееся произведение $xy$ умножать слева на другие четверные числа, это будет эквивалентно произведению соответствующих матриц вида $$\left( \begin{array}{cccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_2 \\ x_2 & x_3 & x_0 & x_1 \\ x_3 & x_2 & x_1 & x_0 \end{array} \right)$$ Определитель этой матрицы и, соответственно, полимодуль чтверной алгебры, имеет вид: $$\begin{array}{c} x_0^4-2x_0^2x_1^2+x_1^4-2x_2(x_1^2+x_0^2)+x_2^4+ \\ + 8x_0x_1x_2x_3-2x_3^2(x_0^2+x_1^2+x_2^2)+x_3^2 \end{array}$$ Если алгебраически описывать геометрические объекты и модуль вектора описывается неквадратичной величиной, то такие геометрии относят к финслеровым.

Найдя обратную матрицу, можно получить обратную величину для заданного $x$ четверной алгебры в виде отношения полиномов 3-го и 4-го порядков.

Некоторое любопытство также может вызвать факторизованный полимодуль четверной алгебры: $$\begin{array}{c} (x_3-x_2-x_1+x_0)\cdot \\ \cdot(x_3-x_2+x_1-x_0)\cdot \\ \cdot(x_3 + x_2-x_1-x_0)\cdot \\ \cdot(x_3+x_2+x_1+x_0) \end{array}$$ Рассмотрим экспоненту четверного числа: $$e^{x_0+ix_1+jx_2+kx_3}$$ В силу коммутативности единиц (каждой с каждой) выполняется $$e^{x_0+ix_1+jx_2+kx_3}=e^{x_0}e^{ix_1}e^{jx_2}e^{kx_3}$$ Справа стоит произведение действительного числа и трех паракомплексных. Соответственно, экспонента четверного числа равна: $$e^{x_0}(\mathrm{ch}x_1+i\mathrm{sh}x_1) (\mathrm{ch}x_2+j\mathrm{sh}x_2) (\mathrm{ch}x_3+k\mathrm{sh}x_3)$$ Если рассматривать подалгебры четверной алгебры, то их четыре. Алгебра действительных чисел образуется если в числах $x$ ненулевые компоненты лишь $x_0$ и три паракомплексные: $$\begin{array}{c} x_0+ix_1 \\ x_0+jx_2 \\ x_0+kx_3 \end{array}$$ Поскольку числа алгебры коммутативны, в ней должны существовать конформные отображения. Причем в 4-мерном пространстве. Примерно как для бикомплексных чисел. Возможно, этот факт может дать некоторые значимые результаты.

Но факт коммутативности имеет и обратную сторону - описать традиционное пространство, в котором мы находимся, с некоммутативными 3-мерными поворотами, не получится.

Матричные представления гиперкомплексных чисел