Если есть преобразование Лоренца, применяемое к 4-вектору, то оно сохраняет квадрат величины этого вектора. Это инвариант преобразования Лоренца. А если есть композиционное преобразование, то какая величина от преобразуемой величины будет сохраняться инвариантной? Попробуем разобраться.
Положим, что композиционно преобразуемая величина состоит из полярной и аксиальной частей:
$$
Ip+a
$$
Здесь $p$ и $a$ - кватернионные части:
$$
\begin{array}{c}
Ip=I(ip_x+jp_y+kp_z) \\
a=ia_x+ja_y+ka_z
\end{array}
$$
Рассмотрим, чему равна величина квадрата от такого составного вектора:
$$
(Ip+a)(Ip+a)
$$
Для кватернионных величин $a$ и $b$ состоящих только из мнимых частей выполняется:
$$
ab=-(a,b)+[a,b]
$$
Здесь $(a,b)$ - скалярное произведение 3-мерных векторов:
$$
(a,b)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z
$$
И $[a,b]$ - векторное произведение
$$
\begin{array}{c}
[a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y) + \\
+ j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x)
\end{array}
$$
Для них выполняются соотношения:
$$
(a,b)=(b,a)
$$
$$
[a,b] = -[b,a]
$$
$$
[a,a] = 0
$$
Используя эти свойства, раскроем квадрат исходной величины, зная что
$$
I^2=-1
$$
И что $I$ коммутирует с единицами $i$, $j$, $k$.
$$
\begin{array}{c}
(Ip+a)(Ip+a)= (p,p)-I(p,a)+I[p,a]- \\
- I(a,p)-I[a,p]-(a,a) = \\
= (p,p) - (a,a) - 2I(a,p)
\end{array}
$$
Теперь рассмотрим что происходит с таким квадратом при композиционном преобразовании $T$:
$$
T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}
$$
Поскольку $\bar{T}T=1$ и поскольку величина $(Ip+a)^2$ есть сумма скаляра и псевдоскаляра, то в силу свойства композиционного преобразования оставлять неизменным скаляр
$$
TC\bar{T}=CT\bar{T}=C
$$
получаем, что квадрат композиционно преобразованной величины, если она есть чисто векторная, останется инвариантным
$$
\begin{array}{c}
T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}= \\
=(p,p)-(a,a)-2I(a,p)
\end{array}
$$
Если инвариантная величина является составной, то инвариантными одновременно друг с другом являются все её компоненты:
$$
(p,p)-(a,a)=inv
$$
$$
I(a,p)=inv
$$
Здесь первый инвариант скалярная величина, а вторая псевдоскалярная.
В частности, композиционно преобразуемой величиной являеся напряженность электромагнитного поля, состоящая из полярного и аксиального векторов $E$ и $B$ и поэтому для них также инвариантны величины
$$
E^2-B^2 = inv
$$
$$
(E,B) = inv
$$
при композиционном преобразовании.
Часто эти инвариантны относят к инвариантам самого поля. Строго говоря, это неверно, поскольку инварианты относятся к преобразованию, а для иных преобразований и инварианты будут другие.
Например, для преобразований 3-мерных поворотов инвариантов будет уже три:
$$
\begin{array}{c}
E^2 = inv \\
B^2 = inv \\
(E,B) = inv
\end{array}
$$
Комментариев нет:
Отправить комментарий