Инвариант композиционного преобразования

Если есть преобразование Лоренца, применяемое к 4-вектору, то оно сохраняет квадрат величины этого вектора. Это инвариант преобразования Лоренца. А если есть композиционное преобразование, то какая величина от преобразуемой величины будет сохраняться инвариантной? Попробуем разобраться.

Положим, что композиционно преобразуемая величина состоит из полярной и аксиальной частей: $$Ip+a$$ Здесь $p$ и $a$ - кватернионные части: $$\begin{array}{c} Ip=I(ip_x+jp_y+kp_z) \\ a=ia_x+ja_y+ka_z \end{array}$$ Рассмотрим, чему равна величина квадрата от такого составного вектора: $$(Ip+a)(Ip+a)$$ Для кватернионных величин $a$ и $b$ состоящих только из мнимых частей выполняется: $$ab=-(a,b)+[a,b]$$ Здесь $(a,b)$ - скалярное произведение 3-мерных векторов: $$(a,b)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$ И $[a,b]$ - векторное произведение $$\begin{array}{c} [a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y) + \\ + j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x) \end{array}$$ Для них выполняются соотношения: $$(a,b)=(b,a)$$ $$[a,b] = -[b,a]$$ $$[a,a] = 0$$ Используя эти свойства, раскроем квадрат исходной величины, зная что $$I^2=-1$$ И что $I$ коммутирует с единицами $i$, $j$, $k$. $$\begin{array}{c} (Ip+a)(Ip+a)= (p,p)-I(p,a)+I[p,a]- \\ - I(a,p)-I[a,p]-(a,a) = \\ = (p,p) - (a,a) - 2I(a,p) \end{array}$$ Теперь рассмотрим что происходит с таким квадратом при композиционном преобразовании $T$: $$T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}$$ Поскольку $\bar{T}T=1$ и поскольку величина $(Ip+a)^2$ есть сумма скаляра и псевдоскаляра, то в силу свойства композиционного преобразования оставлять неизменным скаляр $$TC\bar{T}=CT\bar{T}=C$$ получаем, что квадрат композиционно преобразованной величины, если она есть чисто векторная, останется инвариантным $$\begin{array}{c} T(Ip+a)\bar{T}T(Ip+a)\bar{T}= \\ =(p,p)-(a,a)-2I(a,p) \end{array}$$ Если инвариантная величина является составной, то инвариантными одновременно друг с другом являются все её компоненты: $$(p,p)-(a,a)=inv$$ $$I(a,p)=inv$$ Здесь первый инвариант скалярная величина, а вторая псевдоскалярная.

В частности, композиционно преобразуемой величиной являеся напряженность электромагнитного поля, состоящая из полярного и аксиального векторов $E$ и $B$ и поэтому для них также инвариантны величины $$E^2-B^2 = inv$$ $$(E,B) = inv$$ при композиционном преобразовании.

Часто эти инвариантны относят к инвариантам самого поля. Строго говоря, это неверно, поскольку инварианты относятся к преобразованию, а для иных преобразований и инварианты будут другие.

Например, для преобразований 3-мерных поворотов инвариантов будет уже три: $$\begin{array}{c} E^2 = inv \\ B^2 = inv \\ (E,B) = inv \end{array}$$