Преобразование момента импульса в СТО

В образовании момента импульса участвуют две величины: вектор импульса и радиус-вектор до точки его приложения. При преобразованиях Лоренца обе эти величины преобразуются, и преобразуются одинаково, как 4-векторы. То есть в СТО должна быть использована другая форма векторного произведения, чем используется для 3-мерных векторов. Какая именно и как преобразуется момент импульса, попробуем разобраться.

В гиперкомплексных числах 4-векторам СТО соответствует сокращенная часть бикватерниона $$ x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3 $$ Оба 4-вектора, и радиус-вектор и импульс, преобразуются одинаковым образом: $$ X\rightarrow BX\bar{B}^* $$ Здесь оператор $B$ есть единичное по модулю число, представимое в виде $$ B=\exp(\psi/2+\varphi/2) $$ И величины углов $\psi$ и $\varphi$ есть гиперболический угол преобразования Лоренца и 3-мерный угол поворота: $$ \psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3 $$ $$ \varphi=Ii\varphi_1+Ij\varphi_2+Ik\varphi_3 $$ Поэтому в качестве сопряжения $\bar{B}^*$ может быть использовано как скалярно-векторное, так и скалярно-алгебраическое. Это следует из отсутствия в показателе экспоненты псевдоскалярной состявляющей при единице $I$.

Подходящим описанием векторного произведения 4-векторов выглядит вектораня часть взаимного отношения двух чисел. Если есть две величины $x$ и $y$, которые преобразуются как $$ x\rightarrow Bx\bar{B}^* $$ $$ y\rightarrow By\bar{B}^* $$ То их взаимное отношение $x\bar{y}$ преобразуется как: $$ x\bar{y}\rightarrow Bx\bar{B}^*B^*\bar{y}\bar{B} $$ Величина стоящая в центре $\bar{B}^*B^*$ есть произведение величины на ей алгебраически сопряженную. И, поскольку абсолютная величина $B$ равна 1, то $$ \bar{B}^*B^*=1 $$ Таким образом, при преобразованиях Лоренца момент импульса изменяется так, как изменяется векторная часть $$ Vec(r\bar{p})\rightarrow Vec(Br\bar{p}\bar{B}) $$ Поскольку в векторную часть бикватерниона, вообще говоря, входят два вектора, полярный и аксиальный, то в момент импульса должны входить также два вектора, полярный и аксиальный.

В обычных условиях, в классической механике, рассматриваются только 3-мерные векторы. В этом случае в результат векторного произведения входит лишь аксиальная составляющая.

Естественным образом возникает вопрос об ориентации такого векторного произведения. В кватернионах выбирается (обычно) ориентация произведения и все операции выполняются в ней. В частности, для правой тройки векторов: $$ ij=k $$ В вышеприведенном векторном произведении векторы $r$ и $p$ полярные, и произведение полярного вектора $Ijr_x$ на сопряженный полярный вектор $-Ijp_y$ равно: $$ Iir_x(-1)Ijp_y=Ijr_zp_y=kr_xp_y $$ То есть использованная запись векторного произведения напрямую соответствует правому векторному произведению.

Для рассмотрения преобразования полного момента импульса представим его в бикватернионной форме: $$ M=Vec(R\bar{P}) $$ Здесь векторная часть $M$ состоит из двух частей - полярной и аксиальной: $$ M = I m_p+m $$ Здесь $m_p$ и $m$ - кватернионы: $$ m_p=im_{px}+jm_{py}+km_{pz} $$ $$ m=im_x+jm_y+km_z $$ Преобразование Лоенца $B$ в бикватернионной форме имеет вид: $$ B=ch(\psi/2)+Iib_x+Ijb_y+Ikb_z $$ $$ b^2_x+b^2_y+b^2_z=sh^2(\psi/2) $$ Здесь $\psi$ - гиперболический угол преобразования Лоренца как угол вращения в пространственно-временной плоскости.

Как мы выяснили ранее, нас интересует произведение $$ BR\bar{P}\bar{B} $$ И именно векторная его часть. Упрощенно представим $B$ как $$ B=b_0+Ib $$ $$ b_0=ch(\psi/2) $$ $$ b=ib_x+jb_y+kb_z $$ Раскроем произведение $Bm\bar{B}$ используя правила произведения кватернионов. произведение векторный частей кватернионов образует сумму скалярного и векторного произведений: $$ ab=-(a,b)+[a,b] $$ Скалярное произведение: $$ (a,b)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z $$ Векторное произведение: $$ [a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y)+j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x) $$ Если скалярное произведение есть скаляр, то результат векторного произведения есть аксиальный кватернион. В частности: $$ bb=-(b,b)=-|b|^2=-sh^2(\psi/2) $$ Используем дополнительно соотношения: $$ I^2=-1 $$ $$ [a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b) $$ Искомое произведение после упрощений равно: $$ (b_0+Ib)m(b_0-Ib)=m(b^2_0+(b,b))-2Ib_0[m,b]-2b(m,b) $$ Подставляя в произведение полярную часть, получим: $$ (b_0+Ib)I m_p(b_0-Ib)=I m_p(b^2_0+(b,b))+2b_0[m_p,b]-2Ib(m_p,b) $$ Воздействие же на скалярную часть таким оператором оставляет ее неизменной: $$ (b_0+Ib)m_0(b_0-Ib)=m_0 $$ Анализ преобразований аксиальной части импульса $m$ показывает, что при преобразованиях Лоренца она дает приращение к полярной части: $$ Bm\bar{B}=\ldots-2Ib_0[m,b]-\ldots $$ Точно так же преобразование Лоренца полярной части момента импульса дает вклад в его аксиальную часть: $$ Bm_p\bar{B}=\ldots+2b_0[m_p,b]-\ldots $$ Если собственно сами величины $b_0$ и $b$ перевести в релятивистские дроби с корнем вида $\sqrt{1-v^2/c^2}$, то получаемые выражения для преобразований полярной и аксиальной частей момента импульса аналогичны формулам преобразований напряженностей электромагнитного поля в релятивистском варианте.

Но, на мой взгляд, остается открытым вопрос как трактовать полярную часть момента импульса, если при течении времени скалярная составляющая $R$ непрерывно возрастает.