Преобразование момента импульса в СТО

В образовании момента импульса участвуют две величины: вектор импульса и радиус-вектор до точки его приложения. При преобразованиях Лоренца обе эти величины преобразуются, и преобразуются одинаково, как 4-векторы. То есть в СТО должна быть использована другая форма векторного произведения, чем используется для 3-мерных векторов. Какая именно и как преобразуется момент импульса, попробуем разобраться.

В гиперкомплексных числах 4-векторам СТО соответствует сокращенная часть бикватерниона $$x=x_0+Iix_1+Ijx_2+Ikx_3$$ Оба 4-вектора, и радиус-вектор и импульс, преобразуются одинаковым образом: $$X\rightarrow BX\bar{B}^*$$ Здесь оператор $B$ есть единичное по модулю число, представимое в виде $$B=\exp(\psi/2+\varphi/2)$$ И величины углов $\psi$ и $\varphi$ есть гиперболический угол преобразования Лоренца и 3-мерный угол поворота: $$\psi=Ii\psi_1+Ij\psi_2+Ik\psi_3$$ $$\varphi=Ii\varphi_1+Ij\varphi_2+Ik\varphi_3$$ Поэтому в качестве сопряжения $\bar{B}^*$ может быть использовано как скалярно-векторное, так и скалярно-алгебраическое. Это следует из отсутствия в показателе экспоненты псевдоскалярной состявляющей при единице $I$.

Подходящим описанием векторного произведения 4-векторов выглядит вектораня часть взаимного отношения двух чисел. Если есть две величины $x$ и $y$, которые преобразуются как $$x\rightarrow Bx\bar{B}^*$$ $$y\rightarrow By\bar{B}^*$$ То их взаимное отношение $x\bar{y}$ преобразуется как: $$x\bar{y}\rightarrow Bx\bar{B}^*B^*\bar{y}\bar{B}$$ Величина стоящая в центре $\bar{B}^*B^*$ есть произведение величины на ей алгебраически сопряженную. И, поскольку абсолютная величина $B$ равна 1, то $$\bar{B}^*B^*=1$$ Таким образом, при преобразованиях Лоренца момент импульса изменяется так, как изменяется векторная часть $$Vec(r\bar{p})\rightarrow Vec(Br\bar{p}\bar{B})$$ Поскольку в векторную часть бикватерниона, вообще говоря, входят два вектора, полярный и аксиальный, то в момент импульса должны входить также два вектора, полярный и аксиальный.

В обычных условиях, в классической механике, рассматриваются только 3-мерные векторы. В этом случае в результат векторного произведения входит лишь аксиальная составляющая.

Естественным образом возникает вопрос об ориентации такого векторного произведения. В кватернионах выбирается (обычно) ориентация произведения и все операции выполняются в ней. В частности, для правой тройки векторов: $$ij=k$$ В вышеприведенном векторном произведении векторы $r$ и $p$ полярные, и произведение полярного вектора $Ijr_x$ на сопряженный полярный вектор $-Ijp_y$ равно: $$Iir_x(-1)Ijp_y=Ijr_zp_y=kr_xp_y$$ То есть использованная запись векторного произведения напрямую соответствует правому векторному произведению.

Для рассмотрения преобразования полного момента импульса представим его в бикватернионной форме: $$M=Vec(R\bar{P})$$ Здесь векторная часть $M$ состоит из двух частей - полярной и аксиальной: $$M = I m_p+m$$ Здесь $m_p$ и $m$ - кватернионы: $$m_p=im_{px}+jm_{py}+km_{pz}$$ $$m=im_x+jm_y+km_z$$ Преобразование Лоенца $B$ в бикватернионной форме имеет вид: $$B=ch(\psi/2)+Iib_x+Ijb_y+Ikb_z$$ $$b^2_x+b^2_y+b^2_z=sh^2(\psi/2)$$ Здесь $\psi$ - гиперболический угол преобразования Лоренца как угол вращения в пространственно-временной плоскости.

Как мы выяснили ранее, нас интересует произведение $$BR\bar{P}\bar{B}$$ И именно векторная его часть. Упрощенно представим $B$ как $$B=b_0+Ib$$ $$b_0=ch(\psi/2)$$ $$b=ib_x+jb_y+kb_z$$ Раскроем произведение $Bm\bar{B}$ используя правила произведения кватернионов. произведение векторный частей кватернионов образует сумму скалярного и векторного произведений: $$ab=-(a,b)+[a,b]$$ Скалярное произведение: $$(a,b)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$ Векторное произведение: $$[a,b]=i(a_yb_z-a_zb_y)+j(a_zb_x-a_xb_z)+k(a_xb_y-a_yb_x)$$ Если скалярное произведение есть скаляр, то результат векторного произведения есть аксиальный кватернион. В частности: $$bb=-(b,b)=-|b|^2=-sh^2(\psi/2)$$ Используем дополнительно соотношения: $$I^2=-1$$ $$[a,[b,c]]=b(a,c)-c(a,b)$$ Искомое произведение после упрощений равно: $$(b_0+Ib)m(b_0-Ib)=m(b^2_0+(b,b))-2Ib_0[m,b]-2b(m,b)$$ Подставляя в произведение полярную часть, получим: $$(b_0+Ib)I m_p(b_0-Ib)=I m_p(b^2_0+(b,b))+2b_0[m_p,b]-2Ib(m_p,b)$$ Воздействие же на скалярную часть таким оператором оставляет ее неизменной: $$(b_0+Ib)m_0(b_0-Ib)=m_0$$ Анализ преобразований аксиальной части импульса $m$ показывает, что при преобразованиях Лоренца она дает приращение к полярной части: $$Bm\bar{B}=\ldots-2Ib_0[m,b]-\ldots$$ Точно так же преобразование Лоренца полярной части момента импульса дает вклад в его аксиальную часть: $$Bm_p\bar{B}=\ldots+2b_0[m_p,b]-\ldots$$ Если собственно сами величины $b_0$ и $b$ перевести в релятивистские дроби с корнем вида $\sqrt{1-v^2/c^2}$, то получаемые выражения для преобразований полярной и аксиальной частей момента импульса аналогичны формулам преобразований напряженностей электромагнитного поля в релятивистском варианте.

Но, на мой взгляд, остается открытым вопрос как трактовать полярную часть момента импульса, если при течении времени скалярная составляющая $R$ непрерывно возрастает.