Если есть скорость - то какая она?

Если есть скорость - то какая она? Если мы наблюдаем скорость в каком-то явлении, то как определить, это галилеева скорость, или лоренцева, или другая? Попробуем разобраться.

Чтобы отделить один вид скорости от другой нужно найти явление в котором они ведут себя по-разному. К очевидному отличию можно отнести их коммутативность / некоммутативность.

Галилеевы скорости коммутативны между собой по композиции, а лоренцевы нет. Как следствие, из галилеевых скоростей можно построить треугольник из трех скоростей и в результате получить единичное преобразование. А для лоренцевых скоростей такой треугольник даст не единичное преобразование, а вращение Вигнера.

К отдельному виду скоростей также стоит отнести движение со скоростью света. Композиция двух произвольных преобразований световых движений дает последнее из примененных. Так, что если строить треугольник скоростей на скоростях света, то он как-бы не получится, даже если мы выберем равносторонний треугольник из скоростей света. В результате мы все равно получим скорость света, приложенную последней.

Итак, если мы можем сложить треугольник из однородных друг другу по физической природе скоростей, то по результату мы можем определить их вид:

Треугольник скоростей	Вид результата
Галилеевы скорости	Единичное преобразование
Лоренцевы скорости	Вращение Вигнера
Скорости света	Скорость света без вращения

Чтобы увидеть вращение Вигнера, используем систему компьютерной алгебры и дадим определение как оперировать бикватернионами. Используем систему Maxima.

Дадим определение матричного представления бикватерниона:

makemat(x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7):=
matrix([x0,x1,x2,x3,-x4,-x5,-x6,-x7],
    [x1,x0,-x7,x6,x5,x4,-x3,x2],
    [x2,x7,x0,-x5,x6,x3,x4,-x1],
    [x3,-x6,x5,x0,x7,-x2,x1,x4],
    [x4,-x5,-x6,-x7,x0,-x1,-x2,-x3],
    [x5,-x4,x3,-x2,-x1,x0,-x7,x6],
    [x6,-x3,-x4,x1,-x2,x7,x0,-x5],
    [x7,x2,-x1,-x4,-x3,-x6,x5,x0]);

Первая скорость на 1 по оси x:

v1:makemat(cosh(V),sinh(V),0,0,0,0,0,0);

Вторая скорость на - 1 по оси x и на 1 по оси y:

v2:makemat(cosh(V*sqrt(2)),-sinh(V*sqrt(2))/sqrt(2),sinh(V*sqrt(2))/sqrt(2),0,0,0,0,0);

Третья скорость на -1 по оси y:

v3:makemat(cosh(V),0,-sinh(V),0,0,0,0,0);

И смотрим результат:

v:trigreduce(v3.v2.v1);

В результате получаем движение в направлениях x и y и вращение по оси z.