Что есть что?

Одни величины - скалярные, другие псевдоскалярные. Одни вектора настоящие, другие псевдовекторы. Как определить что получается в результате произведения? Попробуем разобраться.

Для понимания нужно сопоставить величинам их гиперкомплексное представление в виде бикватернионов (Гамильтона). По произведению определить какие мнимые единицы получаются в результате, и по ним будет понятно чем является результат. Бикватернионы Гамильтона (или комплексные кватернионы) представляются в виде: $$q = q_0 + Iiq_1 + Ijq_2 + Ikq_3 + Iq_4 + iq_5 + jq_6 + kq_7$$ Здесь единица $I$ - мнимая единица со свойством $I^2=-1$, и она умножается коммутативно на мнимые единицы $i$, $j$, $k$.

Мнимые единицы $i$, $j$, $k$ - векторные единицы (кватернионные).

Правила сопоставления следующее:

• тройка компонентов $Iiq_1 + Ijq_2 + Ikq_3$ образует полярный вектор или просто вектор
• тройка компонентов $iq_5 + jq_6 + kq_7$ образует аксиальный вектор или псевдовектор
• величина $q_0$ образует скаляр
• величина $Iq_4$ образует псевдоскаляр

Соответственно, если есть произведения то мы можем сделать выводы, чем является результат. Например, произведение псевдоскаляра на вектор дает псевдовектор, а произведение псевдоскаляра на псевдовектор дает вектор.

Соответственно, векторное произведение аксиальных векторов дает аксиальный, векторное произведение полярных дает также аксиальный, а векторное произведение полярного на аксиальный или аксиального на полярный дает полярный вектор.

Также должно быть очевидным, что скаляры, псевдоскаляры, векторы и псевдовекторы нельзя складывать в их пространствах - они все лежат, каждая величина, в своих пространствах. Например, нельзя складывать (в 3-мерном векторном пространстве) линейную скорость с угловой, поскольку линейная скорость - полярный вектор, а угловая - аксиальный, но их можно сложить в более мерном пространстве бикватернионов.

Точно так же нельзя сложить скаляр и псевдоскаляр в пространстве только скаляров или псевдоскаляров, но их можно сложить в пространстве бикватернионов, эти величины образуют комплексное число.