Скалярное произведение бикомплексных чисел

После рассмотрения формы скалярного произведения (в обеих формах) и матричного представления бикомплексных чисел, соединим их вместе чтобы получить скалярное произведение бикомплексных чисел.

Для этой задачи используем систему компьютерной алгебры Maxima и дадим ей объявление как трактовать бикомплексные числа в виде матриц:

makemat(x0,x1,x2,x3) :=
matrix([x0,x1,-x2,-x3],
[x1,x0,x3,x2],
[x2,-x3,x0,-x1],
[x3,-x2,-x1,x0]);

Зададим два бикомплексных числа в их компонентах:

a:makemat(a0,a1,a2,a3);
b:makemat(b0,b1,b2,b3);

И объявим скалярное произведение через взятие действительной части от произведения одного числа на обратное второму:

sc:factor((a.invert(b))[1,1]);

Результат получаем в виде отношения двух полиномов: $$ S(a,b) = Re(ab^{-1}) = \frac{C}{D} $$ $$ C = a_3b_3^3-a_2b_2b_3^2+a_1b_1b_3^2+a_0b_0b_3^2-a_3b_2^2b_3+ $$ $$ +2a_0b_1b_2b_3+2a_1b_0b_2b_3+a_3b_1^2b_3+2a_2b_0b_1b_3+ $$ $$ +a_3b_0^2b_3+a_2b_2^3+a_1b_1b_2^2+a_0b_0b_2^2+ $$ $$ +a_2b_1^2b_2+2a_3b_0b_1b_2+a_2b_0^2b_2+a_1b_1^3- $$ $$ -a_0b_0b_1^2-a_1b_0^2b_1+a_0b_0^3 $$ $$ D = (b_3^2-2b_2b_3+b_2^2+b_1^2+2b_0b_1+b_0^2)\cdot $$ $$ \cdot(b_3^2+2b_2b_3+b_2^2+b_1^2-2b_0b_1+b_0^2) $$ Для приведения скалярного произведения к второй форме умножим на квадрат модуля полученный из полимодуля второго числа $b$, задаваемого $D$, и равного четвертой степени модуля числа $b$: $$ S(a,b) = Re(a\bar{b}) = \frac{C}{D}\sqrt{D}=\frac{C}{\sqrt{D}} $$