Ортогональность единиц тернарной алгебры

Если единицы тернарной алгебры выглядят как числа комплексной алгебры и для неё определено взятие скалярного произведения, то мнимые единицы ортогональны или нет? Попробуем разобраться.

И для этого в целях наглядности используем систему компьютерной алгебры Maxima.

Первым делом научим систему оперировать числами тернарной алгебры как матрицами, определив матричное представление:

ternar(x0,x1,x2):=
matrix([x0,x2,x1],
[x1,x0,x2],
[x2,x1,x0]);

Теперь, задавая различные нулевые и ненулевые коэффициенты, можем определить матричные аналоги мнимых единиц:

a:ternar(0,0,1);
b:ternar(0,1,0);

Теперь мы можем в качестве a и b задать системе Maxima различные значения и сочетания мнимых единиц.

Далее определим взятие скалярного произведения чисел тернарной алгебры:

scalar:(a.invert(b))[1,1];

Здесь точка означает умножение матриц, функция invert - взятие обратной матрицы, и взятие коэффициентов первой строки первого столбца эквивалентно получению действительной части числа тернарной алгебры с отбрасыванием остальных, не интересных в данном случае.

Теперь поочередно задаем в значениях a и b по одной ненулевой и остальные нулевые единицы.

Прямая проверка показывает, что для совпадающих мнимых единиц скалярное произведение получается 1, а для несовпадающих - 0. Следовательно, для заданного для тернарной алгебры скалярного произведения её мнимые единицы ортогональны.