Мнимые единицы кватернионов i, j, k зачастую используются для моделирования векторов, положения точек в пространстве, параметров преобразования и прочего. Но к каким именно векторам относятся вектора, построенные на этих единицах - к полярным или аксиальным? Попробуем разобраться.
Чтобы понять отличие полярного вектора от аксиального, представим, что мы едем на велосипеде. Перед нами крутится колесо. Если скорость велосипеда V, то скорость шины колеса в верхней точке 2V. Поэтому от верхней точки (и от других конечно тоже) может оторваться капля грязной воды и полететь по инерции. Капля летит вперед.
После отрыва капля летит под действием силы тяжести и по параболе, но в момент отрыва ее скорость воспроизводит вектор линейной скорости точки шины. Мы можем по движению капли при отрыве сделать вывод что эта скорость направлена горизонтально и вперед. И в определенном смысле мы также можем сказать что вот в этот момент времени точка шины двигалась вот так-то. И точка шины двигается так вне какой-либо зависимости от чьего-либо мнения и каких-либо соглашений.
У колеса велосипеда также есть и другая скорость. Если капля воспроизводит линейную скорость, то вторая скорость это угловая скорость вращения колеса. Это тоже векторная величина и она также имеет направление. Если система координат правая, то угловая скорость вращения колеса велосипеда направлена влево. Но если левая - то вправо.
Здесь линейная скорость является полярным вектором, а угловая аксиальным. Для аксиального мы не можем взять что-то что физически воспроизводит этот вектор, а для полярного можем. Куда направлен аксиальный вектор зависит от соглашения. И если на велосипеде едут разные люди с разным выбором систем координат, у одного правая у другого левая, то у них вектор угловой скорости направлен противоположно.
Строго говоря, полярные и аксиальные вектора живут в собственных пространствах, и если нам надо использовать операцию между ними, то мы обязательно принимаем соглашение об ориентировании системы координат и некое правило "как-бы помещения" разных векторов в одно пространство. Например, чтобы определить угол между полярным и аксиальным вектором.
Для выяснения каким вектором являются единицы кватернионов используем операцию получения векторов принадлежащих этому пространству так, чтобы нам была точно известна аксиальная четность. Если получится нечетно - то вектора аксиальные, если четно - то полярные.
Используем кватернионное произведение мнимых единиц. Его мнимая часть соответствует векторному произведению, имеющему нечетную аксиальную четность. И мнимая часть результата дает вектор принадлежащий исследуемому пространству.
Положим что вектора полярные, имеющие четную аксиальную четность. Тогда аксиальная четность результата - нечетно, следовательно результат принадлежит пространству аксиальных векторов.
Положим, что вектора аксиальные, имеющие нечетную аксиальную четность. Тогда аксиальная четность результата - снова нечетно. Но первое предположение неверно из-за предположения что пространство состоит из полярных векторов хотя должно из аксиальных, а второе - верно.
Вывод простой - мнимые единицы i, j, k являются аксиальными векторами. У этого вывода есть довольно сложное и тяжелое последствие. А именно: мы не можем использовать кватернионные мнимые единицы, строго говоря, для описания положения точки в пространстве, поскольку это положение должно быть не аксиальным, а полярным вектором.
Для описания трехмерных вращений все в порядке, эти единицы прекрасно подходят для описания угла поворота. Но для описания положения нам нужно либо образовывать полярный вектор путем произведения аксиального вектора на псевдоскаляр, либо быть очень внимательным с применением мнимых единиц кватернионов. Строго говоря, если мы имеем что-то материально воспроизводящее некий вектор, то это полярный вектор и наоборот, если физическая величина представлена полярным вектором, то он может быть буквально воспроизведен чем-то.
Для большинства задач, например для игр с машинной графикой это различие не существенно. Но для применения в физике это обязательно надо учитывать. В частности, именно бикватернионы подходят для описания нашего пространства. При этом в пространстве бикватернионов есть группа преобразований поворотов в скалярно-векторной плоскости, и это именно преобразования Лоренца, используемые в теории относительности.
Возможно, что наш мир и наше пространство таковы именно потому, что иными быть и не могут.
Чтобы понять отличие полярного вектора от аксиального, представим, что мы едем на велосипеде. Перед нами крутится колесо. Если скорость велосипеда V, то скорость шины колеса в верхней точке 2V. Поэтому от верхней точки (и от других конечно тоже) может оторваться капля грязной воды и полететь по инерции. Капля летит вперед.
После отрыва капля летит под действием силы тяжести и по параболе, но в момент отрыва ее скорость воспроизводит вектор линейной скорости точки шины. Мы можем по движению капли при отрыве сделать вывод что эта скорость направлена горизонтально и вперед. И в определенном смысле мы также можем сказать что вот в этот момент времени точка шины двигалась вот так-то. И точка шины двигается так вне какой-либо зависимости от чьего-либо мнения и каких-либо соглашений.
У колеса велосипеда также есть и другая скорость. Если капля воспроизводит линейную скорость, то вторая скорость это угловая скорость вращения колеса. Это тоже векторная величина и она также имеет направление. Если система координат правая, то угловая скорость вращения колеса велосипеда направлена влево. Но если левая - то вправо.
Здесь линейная скорость является полярным вектором, а угловая аксиальным. Для аксиального мы не можем взять что-то что физически воспроизводит этот вектор, а для полярного можем. Куда направлен аксиальный вектор зависит от соглашения. И если на велосипеде едут разные люди с разным выбором систем координат, у одного правая у другого левая, то у них вектор угловой скорости направлен противоположно.
Строго говоря, полярные и аксиальные вектора живут в собственных пространствах, и если нам надо использовать операцию между ними, то мы обязательно принимаем соглашение об ориентировании системы координат и некое правило "как-бы помещения" разных векторов в одно пространство. Например, чтобы определить угол между полярным и аксиальным вектором.
Для выяснения каким вектором являются единицы кватернионов используем операцию получения векторов принадлежащих этому пространству так, чтобы нам была точно известна аксиальная четность. Если получится нечетно - то вектора аксиальные, если четно - то полярные.
Используем кватернионное произведение мнимых единиц. Его мнимая часть соответствует векторному произведению, имеющему нечетную аксиальную четность. И мнимая часть результата дает вектор принадлежащий исследуемому пространству.
Положим что вектора полярные, имеющие четную аксиальную четность. Тогда аксиальная четность результата - нечетно, следовательно результат принадлежит пространству аксиальных векторов.
Положим, что вектора аксиальные, имеющие нечетную аксиальную четность. Тогда аксиальная четность результата - снова нечетно. Но первое предположение неверно из-за предположения что пространство состоит из полярных векторов хотя должно из аксиальных, а второе - верно.
Вывод простой - мнимые единицы i, j, k являются аксиальными векторами. У этого вывода есть довольно сложное и тяжелое последствие. А именно: мы не можем использовать кватернионные мнимые единицы, строго говоря, для описания положения точки в пространстве, поскольку это положение должно быть не аксиальным, а полярным вектором.
Для описания трехмерных вращений все в порядке, эти единицы прекрасно подходят для описания угла поворота. Но для описания положения нам нужно либо образовывать полярный вектор путем произведения аксиального вектора на псевдоскаляр, либо быть очень внимательным с применением мнимых единиц кватернионов. Строго говоря, если мы имеем что-то материально воспроизводящее некий вектор, то это полярный вектор и наоборот, если физическая величина представлена полярным вектором, то он может быть буквально воспроизведен чем-то.
Для большинства задач, например для игр с машинной графикой это различие не существенно. Но для применения в физике это обязательно надо учитывать. В частности, именно бикватернионы подходят для описания нашего пространства. При этом в пространстве бикватернионов есть группа преобразований поворотов в скалярно-векторной плоскости, и это именно преобразования Лоренца, используемые в теории относительности.
Возможно, что наш мир и наше пространство таковы именно потому, что иными быть и не могут.
Комментариев нет:
Отправить комментарий