Если есть композиция двух преобразований Лоренца, то в оператор преобразования входит одновременно и преобразование движения и преобразование вращения. Преобразование вращения будет единичным в частном случае коллинеарности исходных преобразований Лоренца. Образование такого вращения еще называют вращением Вигнера. Чему равна сама скорость и как ее выделить? Попробуем разобраться.
В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" я уже описывал моделирование группы преобразований Лоренца используя бикватернионы (комплексные кватернионы). Используя их, и посмотрим на нетривиальность сложения скоростей в СТО.
Положим, что у нас есть 2 преобразования Лоренца $$ A=e^{\psi_a} $$ $$ B=e^{\psi_b} $$ $$ X'=AX\widetilde{A}^* $$ $$ X''=BX'\widetilde{B}^* $$ здесь $\psi_a$ и $\psi_b$ - половины углов пространственно-временного вращения Лоренца в бикватернионах $$ \psi_a=Ii\psi_{a1}+Ij\psi_{a2}+Ik\psi_{a3} $$ $$ \psi_b=Ii\psi_{b1}+Ij\psi_{b2}+Ik\psi_{b3} $$ Для сопоставления гиперкомплексных величин с скоростью можно использовать сопоставление - если есть оператор преобразования $$ A=e^{\psi} $$ $$ X'=AX\widetilde{A}^* $$ то $$ ch(2\psi)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ Результатом композиции таких преобразований будет третье преобразование $C$: $$ C=BA $$ При этом в силу некоммутативности преобразований Лоренца в преобразование $C$ будут входить одновременно и преобразование движения и преобразование вращения. $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ здесь $$ \psi_{с}=Ii\psi_{с1}+Ij\psi_{с2}+Ik\psi_{с3} $$ $$ \varphi_{с}=Ii\varphi_{с1}+Ij\varphi_{с2}+Ik\varphi_{с3} $$ и составляющая $\psi_c$ отвечает за движения, а $\varphi_c$ за вращение.
Мы можем взять логарифм $C$ и посмотреть чему равны значения $\psi_c$ и $\varphi_c$.
Например, если начальные условия заданы $$ \psi_a=Ii $$ $$ \psi_b=Ij $$ то $$ \psi_c+\varphi_c=\ln(e^{\psi_b}e^{\psi_a}) $$ $$ \psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229 $$ Ситуация выглядит примерно как с углами ориентирования: для расчетов проще применять абсолютные повороты в кватернионах, но летчику в самолете это не понятно, ему нужны углы в системе углов крен-тангаж-рыскание. Поэтому, чтобы почувствовать куда на самом деле летит объект в преобразовании $C$, разложим его на два отдельных: на преобразование движения и преобразование вращения.
Найдем представление преобразования $C$ не в виде $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ а в виде $$ C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c} $$ Для этого умножим $C$ на величину $C$, скалярно-векторно сопряженную: $$ C\widetilde{C}^*=e^{\psi_c}e^{\varphi_c}e^{-\varphi_c}e^{\psi_c}=e^{2\psi_c} $$ и для нахождения $\psi_c$ возьмем логарифм $$ \psi_c=\frac{1}{2}\ln(C\widetilde{C}^*) $$ Для приведенных начальных значений $A$ и $B$ получим: $$ \psi_c=Ii\cdot 0,429238 + Ij\cdot 1,614878 $$ Увы, но да, в СТО скорости складываются иначе чем галилеевы, и по величине и по направлению.
Ну и, зная значение $\psi_c$, можно получить значение $\varphi_c$: $$ e^{\varphi_c}=e^{-\psi_c}C $$ $$ \varphi_c=\ln(e^{-\psi_c}C) $$ Разумеется, что представление о том, куда летит тело в результате преобразования $BA$, зависит от выбранного представления $C$. Для примера я выбрал симметричные начальные условия: преобразование $A$ вдоль оси $X$, а преобразование $B$ вдоль оси $Y$.
В случае если мы ищем оператор $C$ в виде одновременного применения $\psi_c$ и $\varphi_c$, или $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ то в наших начальных условиях получаем: $$ \psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229 $$ Если же будем искать преобразование $C$ в виде $$ C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c} $$ то есть сначала применяем преобразование вращения и потом преобразование движения, то $$ \psi_c=Ii\cdot 0,4292383 + Ij\cdot 1,61487847 $$ Если же ищем преобразование $C$ в разложении наоборот, сначала преобразование движения, потом преобразование вращения, $$ C=e^{\varphi_c}e^{\psi_c} $$ то здесь параметр $\psi_c$ иной: $$ \psi_c=Ii\cdot 1,61487847 + Ij\cdot 0,4292383 $$ Так что да, параметры общего преобразования Лоренца зависят от того, какой из трех вариантов его разложения выбрать.
Тут должен сделать 3 важных уточнения. Первое - в гиперкомплексном представлении преобразований Лоренца используются половинные углы как пространственных, так и пространственно-временных преобразований. Второе - при написании этой заметки попробовал много разных сочетаний $\psi_a$ и $\psi_b$ и, видимо, в композиции $BA$ не образуется псевдоскаляр, и вращение Вигнера является строго пространственным. Третье - второй и третий вариант разложения общего преобразования Лоренца, как было показано в книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" имеют одинаковый параметр $\varphi_c$ и соответственно взаимно повернутые им значения $\psi_c$.
Положим, что у нас есть 2 преобразования Лоренца $$ A=e^{\psi_a} $$ $$ B=e^{\psi_b} $$ $$ X'=AX\widetilde{A}^* $$ $$ X''=BX'\widetilde{B}^* $$ здесь $\psi_a$ и $\psi_b$ - половины углов пространственно-временного вращения Лоренца в бикватернионах $$ \psi_a=Ii\psi_{a1}+Ij\psi_{a2}+Ik\psi_{a3} $$ $$ \psi_b=Ii\psi_{b1}+Ij\psi_{b2}+Ik\psi_{b3} $$ Для сопоставления гиперкомплексных величин с скоростью можно использовать сопоставление - если есть оператор преобразования $$ A=e^{\psi} $$ $$ X'=AX\widetilde{A}^* $$ то $$ ch(2\psi)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}} $$ Результатом композиции таких преобразований будет третье преобразование $C$: $$ C=BA $$ При этом в силу некоммутативности преобразований Лоренца в преобразование $C$ будут входить одновременно и преобразование движения и преобразование вращения. $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ здесь $$ \psi_{с}=Ii\psi_{с1}+Ij\psi_{с2}+Ik\psi_{с3} $$ $$ \varphi_{с}=Ii\varphi_{с1}+Ij\varphi_{с2}+Ik\varphi_{с3} $$ и составляющая $\psi_c$ отвечает за движения, а $\varphi_c$ за вращение.
Мы можем взять логарифм $C$ и посмотреть чему равны значения $\psi_c$ и $\varphi_c$.
Например, если начальные условия заданы $$ \psi_a=Ii $$ $$ \psi_b=Ij $$ то $$ \psi_c+\varphi_c=\ln(e^{\psi_b}e^{\psi_a}) $$ $$ \psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229 $$ Ситуация выглядит примерно как с углами ориентирования: для расчетов проще применять абсолютные повороты в кватернионах, но летчику в самолете это не понятно, ему нужны углы в системе углов крен-тангаж-рыскание. Поэтому, чтобы почувствовать куда на самом деле летит объект в преобразовании $C$, разложим его на два отдельных: на преобразование движения и преобразование вращения.
Найдем представление преобразования $C$ не в виде $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ а в виде $$ C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c} $$ Для этого умножим $C$ на величину $C$, скалярно-векторно сопряженную: $$ C\widetilde{C}^*=e^{\psi_c}e^{\varphi_c}e^{-\varphi_c}e^{\psi_c}=e^{2\psi_c} $$ и для нахождения $\psi_c$ возьмем логарифм $$ \psi_c=\frac{1}{2}\ln(C\widetilde{C}^*) $$ Для приведенных начальных значений $A$ и $B$ получим: $$ \psi_c=Ii\cdot 0,429238 + Ij\cdot 1,614878 $$ Увы, но да, в СТО скорости складываются иначе чем галилеевы, и по величине и по направлению.
Ну и, зная значение $\psi_c$, можно получить значение $\varphi_c$: $$ e^{\varphi_c}=e^{-\psi_c}C $$ $$ \varphi_c=\ln(e^{-\psi_c}C) $$ Разумеется, что представление о том, куда летит тело в результате преобразования $BA$, зависит от выбранного представления $C$. Для примера я выбрал симметричные начальные условия: преобразование $A$ вдоль оси $X$, а преобразование $B$ вдоль оси $Y$.
В случае если мы ищем оператор $C$ в виде одновременного применения $\psi_c$ и $\varphi_c$, или $$ C=e^{\psi_c+\varphi_c} $$ то в наших начальных условиях получаем: $$ \psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229 $$ Если же будем искать преобразование $C$ в виде $$ C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c} $$ то есть сначала применяем преобразование вращения и потом преобразование движения, то $$ \psi_c=Ii\cdot 0,4292383 + Ij\cdot 1,61487847 $$ Если же ищем преобразование $C$ в разложении наоборот, сначала преобразование движения, потом преобразование вращения, $$ C=e^{\varphi_c}e^{\psi_c} $$ то здесь параметр $\psi_c$ иной: $$ \psi_c=Ii\cdot 1,61487847 + Ij\cdot 0,4292383 $$ Так что да, параметры общего преобразования Лоренца зависят от того, какой из трех вариантов его разложения выбрать.
Тут должен сделать 3 важных уточнения. Первое - в гиперкомплексном представлении преобразований Лоренца используются половинные углы как пространственных, так и пространственно-временных преобразований. Второе - при написании этой заметки попробовал много разных сочетаний $\psi_a$ и $\psi_b$ и, видимо, в композиции $BA$ не образуется псевдоскаляр, и вращение Вигнера является строго пространственным. Третье - второй и третий вариант разложения общего преобразования Лоренца, как было показано в книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" имеют одинаковый параметр $\varphi_c$ и соответственно взаимно повернутые им значения $\psi_c$.
Комментариев нет:
Отправить комментарий