Разложение общего преобразования Лоренца

Если есть композиция двух преобразований Лоренца, то в оператор преобразования входит одновременно и преобразование движения и преобразование вращения. Преобразование вращения будет единичным в частном случае коллинеарности исходных преобразований Лоренца. Образование такого вращения еще называют вращением Вигнера. Чему равна сама скорость и как ее выделить? Попробуем разобраться. В книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" я уже описывал моделирование группы преобразований Лоренца используя бикватернионы (комплексные кватернионы). Используя их, и посмотрим на нетривиальность сложения скоростей в СТО.

Положим, что у нас есть 2 преобразования Лоренца $$A=e^{\psi_a}$$ $$B=e^{\psi_b}$$ $$X'=AX\widetilde{A}^*$$ $$X''=BX'\widetilde{B}^*$$ здесь $\psi_a$ и $\psi_b$ - половины углов пространственно-временного вращения Лоренца в бикватернионах $$\psi_a=Ii\psi_{a1}+Ij\psi_{a2}+Ik\psi_{a3}$$ $$\psi_b=Ii\psi_{b1}+Ij\psi_{b2}+Ik\psi_{b3}$$ Для сопоставления гиперкомплексных величин с скоростью можно использовать сопоставление - если есть оператор преобразования $$A=e^{\psi}$$ $$X'=AX\widetilde{A}^*$$ то $$ch(2\psi)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$$ Результатом композиции таких преобразований будет третье преобразование $C$: $$C=BA$$ При этом в силу некоммутативности преобразований Лоренца в преобразование $C$ будут входить одновременно и преобразование движения и преобразование вращения. $$C=e^{\psi_c+\varphi_c}$$ здесь $$\psi_{с}=Ii\psi_{с1}+Ij\psi_{с2}+Ik\psi_{с3}$$ $$\varphi_{с}=Ii\varphi_{с1}+Ij\varphi_{с2}+Ik\varphi_{с3}$$ и составляющая $\psi_c$ отвечает за движения, а $\varphi_c$ за вращение.

Мы можем взять логарифм $C$ и посмотреть чему равны значения $\psi_c$ и $\varphi_c$.

Например, если начальные условия заданы $$\psi_a=Ii$$ $$\psi_b=Ij$$ то $$\psi_c+\varphi_c=\ln(e^{\psi_b}e^{\psi_a})$$ $$\psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229$$ Ситуация выглядит примерно как с углами ориентирования: для расчетов проще применять абсолютные повороты в кватернионах, но летчику в самолете это не понятно, ему нужны углы в системе углов крен-тангаж-рыскание. Поэтому, чтобы почувствовать куда на самом деле летит объект в преобразовании $C$, разложим его на два отдельных: на преобразование движения и преобразование вращения.

Найдем представление преобразования $C$ не в виде $$C=e^{\psi_c+\varphi_c}$$ а в виде $$C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c}$$ Для этого умножим $C$ на величину $C$, скалярно-векторно сопряженную: $$C\widetilde{C}^*=e^{\psi_c}e^{\varphi_c}e^{-\varphi_c}e^{\psi_c}=e^{2\psi_c}$$ и для нахождения $\psi_c$ возьмем логарифм $$\psi_c=\frac{1}{2}\ln(C\widetilde{C}^*)$$ Для приведенных начальных значений $A$ и $B$ получим: $$\psi_c=Ii\cdot 0,429238 + Ij\cdot 1,614878$$ Увы, но да, в СТО скорости складываются иначе чем галилеевы, и по величине и по направлению.

Ну и, зная значение $\psi_c$, можно получить значение $\varphi_c$: $$e^{\varphi_c}=e^{-\psi_c}C$$ $$\varphi_c=\ln(e^{-\psi_c}C)$$ Разумеется, что представление о том, куда летит тело в результате преобразования $BA$, зависит от выбранного представления $C$. Для примера я выбрал симметричные начальные условия: преобразование $A$ вдоль оси $X$, а преобразование $B$ вдоль оси $Y$.

В случае если мы ищем оператор $C$ в виде одновременного применения $\psi_c$ и $\varphi_c$, или $$C=e^{\psi_c+\varphi_c}$$ то в наших начальных условиях получаем: $$\psi_c+\varphi_c=Ii\cdot 1,27000675+ Ij\cdot 1,27000675 + k\cdot 0,967229$$ Если же будем искать преобразование $C$ в виде $$C=e^{\psi_c}e^{\varphi_c}$$ то есть сначала применяем преобразование вращения и потом преобразование движения, то $$\psi_c=Ii\cdot 0,4292383 + Ij\cdot 1,61487847$$ Если же ищем преобразование $C$ в разложении наоборот, сначала преобразование движения, потом преобразование вращения, $$C=e^{\varphi_c}e^{\psi_c}$$ то здесь параметр $\psi_c$ иной: $$\psi_c=Ii\cdot 1,61487847 + Ij\cdot 0,4292383$$ Так что да, параметры общего преобразования Лоренца зависят от того, какой из трех вариантов его разложения выбрать.

Тут должен сделать 3 важных уточнения. Первое - в гиперкомплексном представлении преобразований Лоренца используются половинные углы как пространственных, так и пространственно-временных преобразований. Второе - при написании этой заметки попробовал много разных сочетаний $\psi_a$ и $\psi_b$ и, видимо, в композиции $BA$ не образуется псевдоскаляр, и вращение Вигнера является строго пространственным. Третье - второй и третий вариант разложения общего преобразования Лоренца, как было показано в книге "Преобразования гиперкомплексных чисел" имеют одинаковый параметр $\varphi_c$ и соответственно взаимно повернутые им значения $\psi_c$.