Недавно мне попался под руку конспект лекций по теме уравнения Лагранжа и уравнения движения. В них из наперед заданного уравнения отыскивается соответствующий ему лагранжиан. Общие рассуждения были примерно такие: если есть функция, то подберем для нее такую, чтобы производная этой новой была равна заданной. И в итоге скомбинируем такую функцию, чтобы подстановка её в уравнение Лагранжа давало наперед заданное уравнение движения.
Отыскание подходящего лагранжиана дело, безусловно, благородное. Вот только решение как-то больше показалось методикой наоборот, когда рассматривается уравнение кинетической и потенциальной энергии и уже из них строится уравнение движения.
Естественно, возник вопрос. А дает ли использованная методика однозначное решение или допускает множество вариантов и если да, то каких?
Остановимся на одномерном варианте для простоты. Уравнение Лагранжа задается уравнением
ddt∂L∂˙x−∂L∂x=0
где L есть функция Лагранжа,
L=L(x,˙x,t)
В уравнении присутствуют частная производная по координате
∂L∂x
и частная производная по скорости
∂L∂˙x
к которой применяется полная производная по времени
ddt
Используем свойства производных. А именно, если есть функция f(x), то её производная по x никак не изменится если прибавим произвольную константу:
ddtf(x)=ddt(f(x)+C)
К свойствам частной производной функции нескольких переменных относится то, что к функции можно прибавить произвольную функцию, и если она не зависит от переменной дифференцирования, то частная производная не изменится:
∂∂tf(x,y,z)=∂∂t(f(x,y,z)+g(y,z))
В случае с функцией Лагранжа мы можем производную по времени заменить:
ddt∂L∂˙x=ddt(∂L∂˙x+C1)
Константу можем внести под операцию частной производной:
ddt(∂L∂˙x+C1)=ddt∂(L+C1˙x+C2)∂˙x
Используя рассмотренное ранее свойство частных производных, мы можем взять две частные производные, одна по координате и другая по скорости и добавить к функции L функцию, не зависящую от переменных дифференцирования. В данном случае это координата x и скорость ˙x. И у нас есть третья переменная, время t. Следовательно, общая добавка к функции L может быть
L→L+C1˙x+C2+f(t)
Мы можем отнести C2 к функции f(t) и переобозначить C1 как просто C:
L→L+C˙x+f(t)
Прямая подстановка такой измененной функции Лагранжа в уравнение Лагранжа дает:
∂∂x(L+C˙x+f(t))=∂L∂x
ddt(∂∂˙x(L+C˙x+f(t)))=ddt(∂L∂˙x+C)=ddt∂L∂˙x
Приведенный вариант довеска к лагранжиану дает нули для обоих слагаемых в уравнении Лагранжа. В действительности это лишь частный случай, более общий вариант дает для обоих слагаемых равные приращения, и в итоге уравнение Лагранжа по-прежнему выполняется. Более общий вариант довеска выглядит как полная производная по времени любой функции от координат и времени:
L→L+ddtf(x,t)
Таким образом, если есть уравнение Лагранжа и функция Лагранжа для него, то одно и то же уравнение движения дают семейство функций Лагранжа. И, если есть заданное уравнение движения, то поиск соответствующей ему функции Лагранжа дает неоднозначный результат.
Но при прямом ходе рассуждений, от заданных уравнений кинетической и потенциальной энергий к уравнениям движения результат получается однозначным. Это не специфика уравнения Лагранжа или лагранжианов, это специфика правил дифференцирования и взятия первообразных.
Комментариев нет:
Отправить комментарий