Неоднозначность лагранжиана

Недавно мне попался под руку конспект лекций по теме уравнения Лагранжа и уравнения движения. В них из наперед заданного уравнения отыскивается соответствующий ему лагранжиан. Общие рассуждения были примерно такие: если есть функция, то подберем для нее такую, чтобы производная этой новой была равна заданной. И в итоге скомбинируем такую функцию, чтобы подстановка её в уравнение Лагранжа давало наперед заданное уравнение движения.

Отыскание подходящего лагранжиана дело, безусловно, благородное. Вот только решение как-то больше показалось методикой наоборот, когда рассматривается уравнение кинетической и потенциальной энергии и уже из них строится уравнение движения.

Естественно, возник вопрос. А дает ли использованная методика однозначное решение или допускает множество вариантов и если да, то каких?

Остановимся на одномерном варианте для простоты. Уравнение Лагранжа задается уравнением $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}- \frac{\partial L}{\partial x} = 0 $$ где $L$ есть функция Лагранжа, $$ L = L(x, \dot{x}, t) $$ В уравнении присутствуют частная производная по координате $$ \frac{\partial L}{\partial x} $$ и частная производная по скорости $$ \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} $$ к которой применяется полная производная по времени $$ \frac{d}{dt} $$ Используем свойства производных. А именно, если есть функция $f(x)$, то её производная по $x$ никак не изменится если прибавим произвольную константу: $$ \frac{d}{dt}f(x)=\frac{d}{dt}\left(f(x)+C\right) $$ К свойствам частной производной функции нескольких переменных относится то, что к функции можно прибавить произвольную функцию, и если она не зависит от переменной дифференцирования, то частная производная не изменится: $$ \frac{\partial}{\partial t}f(x,y,z)= \frac{\partial}{\partial t}\left(f(x,y,z)+g(y,z)\right) $$ В случае с функцией Лагранжа мы можем производную по времени заменить: $$ \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} + C_1\right) $$ Константу можем внести под операцию частной производной: $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}} + C_1\right)= \frac{d}{dt}\frac{\partial (L+C_1\dot{x}+C_2)}{\partial \dot{x}} $$ Используя рассмотренное ранее свойство частных производных, мы можем взять две частные производные, одна по координате и другая по скорости и добавить к функции $L$ функцию, не зависящую от переменных дифференцирования. В данном случае это координата $x$ и скорость $\dot{x}$. И у нас есть третья переменная, время $t$. Следовательно, общая добавка к функции $L$ может быть $$ L\rightarrow L+C_1\dot{x}+C_2+f(t) $$ Мы можем отнести $C_2$ к функции $f(t)$ и переобозначить $C_1$ как просто $C$: $$ L\rightarrow L+C\dot{x}+f(t) $$ Прямая подстановка такой измененной функции Лагранжа в уравнение Лагранжа дает: $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(L+C\dot{x}+f(t)\right)= \frac{\partial L}{\partial x} $$ $$ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial}{\partial\dot{x}}(L+C\dot{x}+f(t))\right)= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}+C\right)= \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot{x}} $$ Приведенный вариант довеска к лагранжиану дает нули для обоих слагаемых в уравнении Лагранжа. В действительности это лишь частный случай, более общий вариант дает для обоих слагаемых равные приращения, и в итоге уравнение Лагранжа по-прежнему выполняется. Более общий вариант довеска выглядит как полная производная по времени любой функции от координат и времени: $$ L\rightarrow L+\frac{d}{dt}f(x,t) $$ Таким образом, если есть уравнение Лагранжа и функция Лагранжа для него, то одно и то же уравнение движения дают семейство функций Лагранжа. И, если есть заданное уравнение движения, то поиск соответствующей ему функции Лагранжа дает неоднозначный результат.

Но при прямом ходе рассуждений, от заданных уравнений кинетической и потенциальной энергий к уравнениям движения результат получается однозначным. Это не специфика уравнения Лагранжа или лагранжианов, это специфика правил дифференцирования и взятия первообразных.