Processing math: 100%

вторник, 20 августа 2024 г.

Неоднозначность лагранжиана

Недавно мне попался под руку конспект лекций по теме уравнения Лагранжа и уравнения движения. В них из наперед заданного уравнения отыскивается соответствующий ему лагранжиан. Общие рассуждения были примерно такие: если есть функция, то подберем для нее такую, чтобы производная этой новой была равна заданной. И в итоге скомбинируем такую функцию, чтобы подстановка её в уравнение Лагранжа давало наперед заданное уравнение движения.

Отыскание подходящего лагранжиана дело, безусловно, благородное. Вот только решение как-то больше показалось методикой наоборот, когда рассматривается уравнение кинетической и потенциальной энергии и уже из них строится уравнение движения.

Естественно, возник вопрос. А дает ли использованная методика однозначное решение или допускает множество вариантов и если да, то каких?

Остановимся на одномерном варианте для простоты. Уравнение Лагранжа задается уравнением ddtL˙xLx=0 где L есть функция Лагранжа, L=L(x,˙x,t) В уравнении присутствуют частная производная по координате Lx и частная производная по скорости L˙x к которой применяется полная производная по времени ddt Используем свойства производных. А именно, если есть функция f(x), то её производная по x никак не изменится если прибавим произвольную константу: ddtf(x)=ddt(f(x)+C) К свойствам частной производной функции нескольких переменных относится то, что к функции можно прибавить произвольную функцию, и если она не зависит от переменной дифференцирования, то частная производная не изменится: tf(x,y,z)=t(f(x,y,z)+g(y,z)) В случае с функцией Лагранжа мы можем производную по времени заменить: ddtL˙x=ddt(L˙x+C1) Константу можем внести под операцию частной производной: ddt(L˙x+C1)=ddt(L+C1˙x+C2)˙x Используя рассмотренное ранее свойство частных производных, мы можем взять две частные производные, одна по координате и другая по скорости и добавить к функции L функцию, не зависящую от переменных дифференцирования. В данном случае это координата x и скорость ˙x. И у нас есть третья переменная, время t. Следовательно, общая добавка к функции L может быть LL+C1˙x+C2+f(t) Мы можем отнести C2 к функции f(t) и переобозначить C1 как просто C: LL+C˙x+f(t) Прямая подстановка такой измененной функции Лагранжа в уравнение Лагранжа дает: x(L+C˙x+f(t))=Lx ddt(˙x(L+C˙x+f(t)))=ddt(L˙x+C)=ddtL˙x Приведенный вариант довеска к лагранжиану дает нули для обоих слагаемых в уравнении Лагранжа. В действительности это лишь частный случай, более общий вариант дает для обоих слагаемых равные приращения, и в итоге уравнение Лагранжа по-прежнему выполняется. Более общий вариант довеска выглядит как полная производная по времени любой функции от координат и времени: LL+ddtf(x,t) Таким образом, если есть уравнение Лагранжа и функция Лагранжа для него, то одно и то же уравнение движения дают семейство функций Лагранжа. И, если есть заданное уравнение движения, то поиск соответствующей ему функции Лагранжа дает неоднозначный результат.

Но при прямом ходе рассуждений, от заданных уравнений кинетической и потенциальной энергий к уравнениям движения результат получается однозначным. Это не специфика уравнения Лагранжа или лагранжианов, это специфика правил дифференцирования и взятия первообразных.

Комментариев нет:

Отправить комментарий