Скаляр ли скалярное произведение?

В самом названии скалярного произведения стоит слово, намекающее на то, что результатом является скаляр. Но так ли это, попробуем разобраться.

Будем оставаться в рамках классики, когда скалярным произведением двух векторов называется конструкция $$S({\bf a},{\bf b})=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$$ Сами объекты $a$ и $b$ являются векторами, а, следовательно, представимы в рамках матричной алгебры матрицей из одного столбца: $$\begin{array}{cc} {\bf a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) & {\bf b}=\left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) \end{array}$$ Соответственно, скалярное произведение таких векторов есть произведение матриц: $$S({\bf a},{\bf b})={\bf a}^T{\bf b}$$ Но произведение матриц есть также матрица, значит в результате мы молучаем также матрицу, но размера $1\times 1$.Уже этот факт наводит на мысль, что вообще-то это может оказаться и не скаляром. Например, для умножения его на еще один вектор нужно использовать не операцию произведения скаляра на вектор, а операцию тензорного произведения матриц. То есть матрицы $1\times 1$ на матрицу $1\times 3$. В результате которого получается матрица $1\times 3$.

Либо необходимо вводить в определение такого скалярного произведения дополнительно взятие следа матрицы: $$S({\bf a},{\bf b})=tr({\bf a}^T{\bf b})$$ Может быть любопытным, что само произведение матриц дает матрицу коэффициенты которой есть скалярное произведение соответствующей строки из левой матрицы на соответствующую колонку из правой матрицы.

Снова вернемся к выражению скалярного произведения, данного в начале. На входе у нас два вектора. На выходе величина, составленная из произведений компонент векторов. Следовательно, при преобразованиях системы координат выходная величина также преобразуется как преобразуются произведения компонент векторов. А это уже по определению соответствует определению тензора. Следовательно, результат скалярного произведения есть тензор. И преобразуется как тензор.

Снова поднимем градус. Положим, что оба вектора $a$ и $b$ - полярные. Следовательно, при смене ориентирования системы координат с правой на левую (или обратно) они не меняют знак. Следовательно, и их скалярное произведение не меняет значение.

Положим, что оба вектора $a$ и $b$ аксиальные (например, угловые скорости). При смене ориентирования системы координат они оба меняют знак. Следовательно, скалярное произведение не меняет значения.

Положим, что один из векторов полярный, а второй аксиальный. Например, линейная и угловая скорости. При смене ориентирования системы координат лишь один из них сменит снак. Следовательно, скалярное произведение сменит знак при смене ориентирования системы координат. Следовательно, в этом случае результатом является псевдоскаляр.

Таким образом, если аргументы скалярного произведения есть объекты одной природы, то результатом действительно является скаляр. Но если разной - то все сложнее. Что касается школьного уровня, скажем вычислить квадрат модуля вектора в виде скалярного произведения вектора самого на себя, то тут не стоит беспокоиться.

Взятие скалярного произведения полярного и аксиального векторов не такая уж странная операция. И одной из простых иллюстраций, что результатом скалярного произведения является как-бы не совсем скаляр, является объем в 3-мерном пространстве. Положим, что у нас 3 вектора в 3-мерном пространстве: $$\begin{array}{ccc} {\bf a}=\left( \begin{array}{c} a_x \\ a_y \\ a_z \end{array} \right) & {\bf b}=\left( \begin{array}{c} b_x \\ b_y \\ b_z \end{array} \right) & {\bf c}=\left( \begin{array}{c} c_x \\ c_y \\ c_z \end{array} \right) \end{array}$$ В качестве основания элемента объема, который они образуют, выберем площадку натянутую на векторы $b$ и $c$. Она вычисляется как векторное произведение $$\left| \begin{array}{ccc} i & j & k \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array} \right|$$ И имеет направление. Да, у этой площадки есть направление и она является аксиальным вектором. И направлена как раз очень удобно, перпендикулярно самой площади, векторам $b$ и $c$ и любой линейной комбинации из них.

А объем строится уже как скалярное произведение вектора $a$ на вектор этой площади: $$V=\left| \begin{array}{ccc} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{array} \right|$$ И вот, поскольку площадь является аксиальным вектором (точнее говоря, это аксиальный вектор образованный как тензор), то скалярное произведение её на полярный вектор $a$ является псевдоскаляром.

Положим, что у нас есть банка в 3 литра, с водой. Если мы меняем ориентирование системы координат, что объем меняет знак. Было 3 литра, стало -3 литра. Но масса - скаляр. Плотность - тоже скаляр. Поэтому физический объем тоже должен быть скаляром. Поэтому, чтобы отличить физический объем от полученного нами, используют отдельный термин - ориентированный объем. Вот именно ориентированный объем и является псевдоскаляром.