Инверсные преобразования группы Лоренца

Мы уже привыкли, что в группу преобразований Лоренца входят преобразования 3-мерных вращений и пространственно-временных вращений. И что они задаются непрерывными параметрами. Но в группу преобразований, сохраняющих инвариантным интервал, входят ещё и преобразования, не имеющие непрерывного параметра. Попробуем разобраться.

Начнем с простого. Положим, что у нас есть величина $a$. И нам требуется найти, при умножении каких чисел на эту величину сохраняется инвариантной величина $a^2$. Для этого решим уравнение: $$(xa)^2=a^2$$ Соответственно, величина оператора преобразования $a$ может принимать 2 значения: $$x=1$$ $$x=-1$$ При этом в первом варианте как-бы и нет необходимости, поскольку его можно заменить на второй в четной степени.

Таким образом, чтобы величина $a^2$ сохранялась инвариантной, мы можем умножать величину $a$ на оператор $$C=-1$$ сколько угодно раз: $$((-1)^na)^2=a^2$$ Произвольная композиция таких операторов также сохраняет величину $a^2$ инвариантной, и это выражение верно независимо от значения $n$.

Теперь поднимем градус и перейдем к двумерному числу $$x=(x_0,x_1)$$ для которого преобразования должны сохранять величину $$x_0^2-x_1^2$$ Рассуждая по аналогии с вышеприведенным случаем, мы можем каждую компоненту $x_i$ умножать независимо от другой компоненты на $\pm 1$. $$(\pm_0x_0)^2-(\pm_1x_1)^2=x_0^2-x_1^2$$ Здесь индексами у знаков $\pm$ отмечена их независимость друг от друга. Поскольку каждая операция смены знака у компоненты числа есть операция, линейная по компонентам числа $x_i$, то они представимы в матричной форме. Пусть число $x$ представляется вектором $$\left( \begin{array}{c} x_0 \\ x_1 \end{array}\right)$$ тогда числа - коэффициенты таких инверсных преобразований представляются матрицами: $$C_0=\left(\begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$C_1=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$ Очевидно, что для таких матриц инвертирования компонент выполняются соотношения: $$C_i^2=1$$ $$C_iC_j=C_jC_i$$ $$\prod\limits_{i=0}^nC_i=-1$$ Свойства у таких операторов, возможно, и не столь сильные как у непрерывных преобразований Лоренца, но тем не менее они есть.

Поскольку каждое из таких преобразований сохраняет инвариант $$x_0^2-x_1^2$$ то этот же инвариант сохраняется и при их композиции, причем произвольной, с непрерывными вращениями группы Лоренца, например для 2-мерного интервала это $$L(\psi_1)=\left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right)$$ Композиции этого преобразования с инверсными также сохраняют инвариант: $$x_0^2-x_1^2$$ Например: $$C_1L(\psi_1)= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right)$$ $$L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ sh(\psi_1) & -ch(\psi_1) \end{array}\right)$$ $$C_1L(\psi_1)C_1= \left(\begin{array}{cc} ch(\psi_1) & -sh(\psi_1) \\ -sh(\psi_1) & ch(\psi_1) \end{array}\right)$$ Да, эти матрицы также представляют преобразования Лоренца, поскольку сохраняют инвариант $$x_0^2-x_1^2$$ Такие композиции могут иметь необычные, или скорее непривычные, свойства: $$L(\psi_1)C_1L(\psi_1)C_1=1$$ Мы рассматривали только одномерный и 2-мерный варианты. В действительности преобразования Лоренца действуют в 4-мерном пространстве и сохраняют инвариантным интервал: $$x_0^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2$$ Поэтому в группе Лоренца присутствуют 4 инверсных преобразования: $$C_0=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$C_1=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$C_2=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$ $$C_3=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$ В отношении пространственных координат инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ выступают в качестве зеркальных. Соответственно, не всякая их композиция сохраняет ориентацию ортогональной тройки векторов.

Также нужно отметить, что инверсные операторы $C_1$, $C_2$, $C_3$ образуют композиции как с пространственно-временными гиперболическими вращениями, так и с пространственными тригонометрическими вращениями.