Гиперкомплексные числа и неопределенные интегралы

Для нахождения неопределенных интегралов, или отыскания такой функции, производная которой равна заданной, используется много различных методов. Один из них - это просто брать большой набор различных функций, для каждой из них брать производную и составлять таблицу интегралов. В таком методе необычную роль играют гиперкомплексные числа. Разберемся подробнее.

Положим, что есть функция $$f(x)=e^{x^2}$$ Найдем ее производную: $$f'(x)=2e^{x^2}x$$ Таким образом, к таблице неопределенных интегралов можем добавить такой: $$\int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$$ Вместо действительных чисел мы можем использовать также любые коммутативные гиперкомплексные числа, а также некоммутативные, если будем использовать лишь сами числа некоммутативного переменного в качестве переменной, операции сложения и умножения, а также действительные числа.

Используем ту же самую функцию, подставив комплексное число $$z = x+iy$$ где $i^1=-1$ $$f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y)$$ $$\int \frac{df(z)}{dz}dz=f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y)$$ В силу уравнений Коши-Римана это уравнение распадается на 4 уравнения $$\frac{df(z)}{dz}=f'_x(x,y)+if'_y(x,y)$$ $$\int f'_x(x,y)dx=f_x(x,y)+C$$ $$\int f'_y(x,y)dy=-f_x(x,y)+C$$ $$\int f'_y(x,y)dx=f_y(x,y)+C$$ $$\int f'_y(x,y)dy=f_y(x,y)+C$$ Для нашей функции, выбранной в учебных целях, производная будет равна: $$\frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{z^2}z=2e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))+ i2e^{x^1-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy))$$ Также распишем покомпонентно исходную функцию: $$e^{z^2}=e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+ie^{x^2-y^2}\sin(2xy)$$ Таким образом, получаем набор неопределенных интегралов: $$\int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)-x\sin(2xy))dy=-\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C$$ Проделаем ту же операцию с аргументом паракомплексного переменного $$z = x+iy$$ где $i^2=1$ Исходная функция паракомплексного переменного равна $$e^{z^2}=e^{x^2+y^2}ch(2xy)+ie^{x^2+y^2}sh(2xy)$$ Производная функции паракомплексного переменного $$\frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))+ i2e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))$$ Поскольку для функций паракомплексного переменного также выполняются соответствующие им уравнения вида уравнений Коши-Римана, получаем соответствующую четверку неопределенных интегралов: $$\int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C$$ $$\int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C$$ Любопытно, что в обоих системах уравнений в правой части стоят лишь по 2 различных выражения. Следовательно, из уравнений Коши-Римана при подстановке гиперкомплексного переменного вытекает возможность сделать замену в неопределенных интегралах, например: $$\int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx= \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy+C$$