Для нахождения неопределенных интегралов, или отыскания такой функции, производная которой равна заданной, используется много различных методов. Один из них - это просто брать большой набор различных функций, для каждой из них брать производную и составлять таблицу интегралов. В таком методе необычную роль играют гиперкомплексные числа. Разберемся подробнее.
Положим, что есть функция $$ f(x)=e^{x^2} $$ Найдем ее производную: $$ f'(x)=2e^{x^2}x $$ Таким образом, к таблице неопределенных интегралов можем добавить такой: $$ \int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C $$ Вместо действительных чисел мы можем использовать также любые коммутативные гиперкомплексные числа, а также некоммутативные, если будем использовать лишь сами числа некоммутативного переменного в качестве переменной, операции сложения и умножения, а также действительные числа.
Используем ту же самую функцию, подставив комплексное число $$ z = x+iy $$ где $i^1=-1$ $$ f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y) $$ $$ \int \frac{df(z)}{dz}dz=f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y) $$ В силу уравнений Коши-Римана это уравнение распадается на 4 уравнения $$ \frac{df(z)}{dz}=f'_x(x,y)+if'_y(x,y) $$ $$ \int f'_x(x,y)dx=f_x(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dy=-f_x(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dx=f_y(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dy=f_y(x,y)+C $$ Для нашей функции, выбранной в учебных целях, производная будет равна: $$ \frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{z^2}z=2e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))+ i2e^{x^1-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy)) $$ Также распишем покомпонентно исходную функцию: $$ e^{z^2}=e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+ie^{x^2-y^2}\sin(2xy) $$ Таким образом, получаем набор неопределенных интегралов: $$ \int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)-x\sin(2xy))dy=-\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C $$ Проделаем ту же операцию с аргументом паракомплексного переменного $$ z = x+iy $$ где $i^2=1$ Исходная функция паракомплексного переменного равна $$ e^{z^2}=e^{x^2+y^2}ch(2xy)+ie^{x^2+y^2}sh(2xy) $$ Производная функции паракомплексного переменного $$ \frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))+ i2e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy)) $$ Поскольку для функций паракомплексного переменного также выполняются соответствующие им уравнения вида уравнений Коши-Римана, получаем соответствующую четверку неопределенных интегралов: $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C $$ Любопытно, что в обоих системах уравнений в правой части стоят лишь по 2 различных выражения. Следовательно, из уравнений Коши-Римана при подстановке гиперкомплексного переменного вытекает возможность сделать замену в неопределенных интегралах, например: $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx= \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy+C $$
Положим, что есть функция $$ f(x)=e^{x^2} $$ Найдем ее производную: $$ f'(x)=2e^{x^2}x $$ Таким образом, к таблице неопределенных интегралов можем добавить такой: $$ \int xe^{x^2}dx=\frac{1}{2}e^{x^2}+C $$ Вместо действительных чисел мы можем использовать также любые коммутативные гиперкомплексные числа, а также некоммутативные, если будем использовать лишь сами числа некоммутативного переменного в качестве переменной, операции сложения и умножения, а также действительные числа.
Используем ту же самую функцию, подставив комплексное число $$ z = x+iy $$ где $i^1=-1$ $$ f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y) $$ $$ \int \frac{df(z)}{dz}dz=f(z)=f_x(x,y)+if_y(x,y) $$ В силу уравнений Коши-Римана это уравнение распадается на 4 уравнения $$ \frac{df(z)}{dz}=f'_x(x,y)+if'_y(x,y) $$ $$ \int f'_x(x,y)dx=f_x(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dy=-f_x(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dx=f_y(x,y)+C $$ $$ \int f'_y(x,y)dy=f_y(x,y)+C $$ Для нашей функции, выбранной в учебных целях, производная будет равна: $$ \frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{z^2}z=2e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))+ i2e^{x^1-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy)) $$ Также распишем покомпонентно исходную функцию: $$ e^{z^2}=e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+ie^{x^2-y^2}\sin(2xy) $$ Таким образом, получаем набор неопределенных интегралов: $$ \int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)-x\sin(2xy))dy=-\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\cos(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(x\cos(2xy)-y\sin(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2-y^2}(y\cos(2xy)+x\sin(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2-y^2}\sin(2xy)+C $$ Проделаем ту же операцию с аргументом паракомплексного переменного $$ z = x+iy $$ где $i^2=1$ Исходная функция паракомплексного переменного равна $$ e^{z^2}=e^{x^2+y^2}ch(2xy)+ie^{x^2+y^2}sh(2xy) $$ Производная функции паракомплексного переменного $$ \frac{de^{z^2}}{dz}=2e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))+ i2e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy)) $$ Поскольку для функций паракомплексного переменного также выполняются соответствующие им уравнения вида уравнений Коши-Римана, получаем соответствующую четверку неопределенных интегралов: $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dx=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}sh(2xy)+C $$ $$ \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy=\frac{1}{2}e^{x^2+y^2}ch(2xy)+C $$ Любопытно, что в обоих системах уравнений в правой части стоят лишь по 2 различных выражения. Следовательно, из уравнений Коши-Римана при подстановке гиперкомплексного переменного вытекает возможность сделать замену в неопределенных интегралах, например: $$ \int e^{x^2+y^2}(xch(2xy)+ysh(2xy))dx= \int e^{x^2+y^2}(xsh(2xy)+ych(2xy))dy+C $$
Комментариев нет:
Отправить комментарий