Среди гиперкомплексных алгебр есть алгебра, которую одни считают самостоятельной гиперкомплексной алгеброй, а другие лишь изоморфизмом алгебры комплексных чисел. Хотя алгебра является тернарной и содержит 3 базисные единицы, определенная их комбинация вызывает интерес. Одни её считают нулем, другие считают, что она не равна нулю. Попробуем разобраться.
Тернарная алгебра, о которой идет речь, есть гиперкомплексная алгебра с тремя мнимыми единицами 1, i, j и следующими законами сложения и умножения: ax+iay+jaz+bx+iby+jbz=(ax+bx)+i(ay+by)+j(az+bz) 1⋅1=1 1⋅i=i 1⋅j=j i⋅j=1 i⋅i=j j⋅j=i В этой алгебре нетривиальным нулем является число α=1+i+j Формально, пока пространство остается линейным с линейно-независимыми базисными единицами, эти единицы 1, i, j являются линейно-независимыми и никакая их линейная комбинация не может быть равна 0.
Но алгебра есть не только числа с операцией сложения, алгебра добавляет линейному пространству операцию умножения. Исследуем произведение числа α=1+i+j на произвольное число алгебры: (a+ib+jc)(1+i+j)=(a+b+c)(1+i+j) И мы видим, что это число имеет интересную особенность: умножение числа α на любое число равно умножению действительного числа на число α. Соответственно, и произведение числа α на само себя равно: α2=3α Решая это уравнение относительно α, получим: α2−3α=0 (α−3)α=0 Здесь формально есть 2 корня: α=3 и α=0. Сопоставим их с ранее полученным уравнением: x⋅α=Cxα где Cx есть сумма компонентов числа x.
Если подставим первый корень (α=3), то получим неверное уравнение, и значит α≠3. Если подставим второй корень (α=0), то получим верное уравнение.
Таким образом, введение операции умножения с описанным выше правилом вводит линейную зависимость между базисными единицами алгебры, поскольку величина α=1+i+j ведет себя как нулевая величина и, следовательно, существует равная нулю линейная комбинация базисных мнимых единиц.
Формально говоря, вышеописанная тернарная алгебра изоморфна алгебре комплексных чисел с заменой: 1→1 i→exp(i2π3) j→exp(i4π3) Здесь слева мнимые единицы тернарной алгебры, справа - мнимая единица алгебры комплексных чисел.
У величины нуля есть не только свойство относительно операции умножения x⋅0=0 но и свойство относительно операции сложения: x+0=x где x это произвольное число.
Для изучения как ведет себя величина α при сложении положим, что для всех чисел алгебры мы выполнили замену: x→x+nCxα где n некое действительное число и Cx сумма компонент числа x/
Для суммы чисел x и y очевидно выполняется равенство: x+y→x+y+n(Cx+Cy)α Найдем произведение чисел x и y: x⋅y→(x+nCxα)(y+nCyα)= =xy+xαnCy+yαnCx+n2CxCyα2 Учтем выведенное ранее равенство α2=3α: x⋅y→xy+CxCyα(2n+3n2) Если положить что 2n+3n2=n, то имеем два варианта: n=0 и n=−13.
При этих значениях мы получаем замену каждого числа алгебры x на x+nCxα по правилам: x→x+nCxα x+y→x+y+n(Cx+Cy)α x⋅y→x⋅y+nCxCyα И вместо операций сложения и умножения получаем для такой замены аналогичные операции в довеске. Эти дополнительные операции сложения и умножения никак не влияют на исходные операции сложения и умножения, и никак с ними не пересекаются. Таким образом, этот довесок с точки зрения операции сложения также никак не изменяет исходное число и величина α ведет себя как величина 0.
Тернарная алгебра, о которой идет речь, есть гиперкомплексная алгебра с тремя мнимыми единицами 1, i, j и следующими законами сложения и умножения: ax+iay+jaz+bx+iby+jbz=(ax+bx)+i(ay+by)+j(az+bz) 1⋅1=1 1⋅i=i 1⋅j=j i⋅j=1 i⋅i=j j⋅j=i В этой алгебре нетривиальным нулем является число α=1+i+j Формально, пока пространство остается линейным с линейно-независимыми базисными единицами, эти единицы 1, i, j являются линейно-независимыми и никакая их линейная комбинация не может быть равна 0.
Но алгебра есть не только числа с операцией сложения, алгебра добавляет линейному пространству операцию умножения. Исследуем произведение числа α=1+i+j на произвольное число алгебры: (a+ib+jc)(1+i+j)=(a+b+c)(1+i+j) И мы видим, что это число имеет интересную особенность: умножение числа α на любое число равно умножению действительного числа на число α. Соответственно, и произведение числа α на само себя равно: α2=3α Решая это уравнение относительно α, получим: α2−3α=0 (α−3)α=0 Здесь формально есть 2 корня: α=3 и α=0. Сопоставим их с ранее полученным уравнением: x⋅α=Cxα где Cx есть сумма компонентов числа x.
Если подставим первый корень (α=3), то получим неверное уравнение, и значит α≠3. Если подставим второй корень (α=0), то получим верное уравнение.
Таким образом, введение операции умножения с описанным выше правилом вводит линейную зависимость между базисными единицами алгебры, поскольку величина α=1+i+j ведет себя как нулевая величина и, следовательно, существует равная нулю линейная комбинация базисных мнимых единиц.
Формально говоря, вышеописанная тернарная алгебра изоморфна алгебре комплексных чисел с заменой: 1→1 i→exp(i2π3) j→exp(i4π3) Здесь слева мнимые единицы тернарной алгебры, справа - мнимая единица алгебры комплексных чисел.
У величины нуля есть не только свойство относительно операции умножения x⋅0=0 но и свойство относительно операции сложения: x+0=x где x это произвольное число.
Для изучения как ведет себя величина α при сложении положим, что для всех чисел алгебры мы выполнили замену: x→x+nCxα где n некое действительное число и Cx сумма компонент числа x/
Для суммы чисел x и y очевидно выполняется равенство: x+y→x+y+n(Cx+Cy)α Найдем произведение чисел x и y: x⋅y→(x+nCxα)(y+nCyα)= =xy+xαnCy+yαnCx+n2CxCyα2 Учтем выведенное ранее равенство α2=3α: x⋅y→xy+CxCyα(2n+3n2) Если положить что 2n+3n2=n, то имеем два варианта: n=0 и n=−13.
При этих значениях мы получаем замену каждого числа алгебры x на x+nCxα по правилам: x→x+nCxα x+y→x+y+n(Cx+Cy)α x⋅y→x⋅y+nCxCyα И вместо операций сложения и умножения получаем для такой замены аналогичные операции в довеске. Эти дополнительные операции сложения и умножения никак не влияют на исходные операции сложения и умножения, и никак с ними не пересекаются. Таким образом, этот довесок с точки зрения операции сложения также никак не изменяет исходное число и величина α ведет себя как величина 0.
Комментариев нет:
Отправить комментарий