Сверхсветовая кинематическая зона

Рассмотрим преобразование Лоренца и попробуем разобраться, что же там происходит со скоростями.

Положим, что есть система отсчета $X$, в которой точка движется со скоростью $$\frac{dx}{dt}=v$$ И эта система отсчета движется относительно лабораторной системы отсчета в соответствии с преобразованиями Лоренца $$ct'=ch(\psi)ct+sh(\psi)x$$ $$x'=sh(\psi)ct+ch(\psi)x$$ В целях упрощения пока отбросим 3-мерный вариант и будем рассматривать только 1-мерный $$y'=y$$ $$z'=z$$ $$\frac{dy}{dt}=0$$ $$\frac{dz}{dt}=0$$ Для получения скорости как производной $$v'=\frac{dx'}{dt'}$$ возьмем дифференциалы исходной системы уравнений $$dx'=sh(\psi)d\psi x+ch(\psi)dx+ch(\psi)d\psi ct+sh(\psi)cdt$$ $$cdt'=ch(\psi)d\psi x+sh(\psi)dx+sh(\psi)d\psi ct+ch(\psi)cdt$$ Обозначим производную параметра преобразования Лоренца $\psi$ $$\dot{\psi}=\frac{d\psi}{dt}$$ и получим отношение дифференциалов: $$\frac{v'}{c}=\frac{dx'}{cdt'}=\frac{d\psi(ch(\psi)ct+sh(\psi)x)+sh(\psi)c+ch(\psi)dx)} {d\psi(sh(\psi)ct+ch(\psi)x)+ch(\psi)c+sh(\psi)dx}$$ Обе части правой дроби, и числитель и знаменатель, разделим на $dt$: $$\frac{v'}{c}=\frac{\dot{\psi(ch(\psi)ct+sh(\psi)x)+sh(\psi)c+ch(\psi)v}} {\dot{\psi(sh(\psi)ct+ch(\psi)x)+ch(\psi)c+sh(\psi)v}}$$ в случае $\dot{\psi}=0$ имеем классическое уравнение сложения скоростей в специальной теории относительности: $$\frac{v'}{c}=\frac{sh(\psi)c+ch(\psi)v}{ch(\psi)c+sh(\psi)v}$$ Правую часть, и числитель и знаменатель, разделим на $ch(\psi)c$: $$\frac{v'}{c}=\frac{th(\psi)+v/c}{1+th(\psi)v/c}$$ Или $$v'=\frac{th(\psi)+v/c}{1+th(\psi)v/c}c$$ Если сама скорость $v$ также является скоростью исходя из преобразования Лоренца, то ей соответствует величина $$\frac{v}{c}=th(\psi_v)$$ И если $$\frac{v'}{c}=th(\psi_{v'})$$ тогда формула сложения скоростей в точности равна формуле сложения гиперболических тангенсов: $$th(\psi_{v'})=\frac{th(\psi)+th(\psi_v)}{1+th(\psi)th(\psi_v)}$$ Эта формула вытекает из примененного ранее условия $\dot{\psi}=0$. В случае же $\dot{\psi}\ne 0$ формула заметно усложняется. Если величина $psi$ не является константой, то скорость относительного движения системы отсчета не константа и в движении присутствует ускорение.

Положим, что в системе отсчета $X$ точка не движется, то есть её движение в лабораторной системе отсчета совпадает с движением её системы отсчета: $$v=0$$ Также положим дополнительное условие нулевой величины параметра относительного движения систем отсчета, но ненулевое ускорение: $$\psi=0$$ $$\dot{\psi}\ne 0$$ Тогда получим скорость $$\frac{dx'}{cdt'}=\frac{\dot{\psi}ct}{\dot{\psi}x+c}$$ В этих условиях скорость движения в лабораторной системе отсчета будет больше скорости света $$\frac{dx'}{cdt'}>1$$ если выполняется условие $$\frac{\dot{\psi}ct}{\dot{\psi}x+c}>1$$ $$\dot{\psi}ct>\dot{\psi}x+c$$ $$ct-x>\frac{c}{\dot{\psi}}$$ Это уравнение определяет простейшую границу зоны сверхсветового движения. В случае если выполняются условия $$v=0$$ $$\psi=0$$ $$t=0$$ то граница определяется плоскостью $$-x>\frac{c}{\dot{\psi}}$$ или $$x<-\frac{c}{\dot{\psi}}$$ Или, если мы движемся вперед по оси $X$ и параметр преобразования Лоренца нулевой, но изменяется со скоростью $\dot{\psi}$, то граница сверхсветовой зоны находится позади на расстоянии $c/\dot{\psi}$.

В полученном ранее уравнении относительной скорости сама скорость одномерного движения зависит от того, является ли константой параметр преобразования Лоренца $\psi$, то есть определяется не только величиной $\psi$, но и её изменением $\dot{\psi}$, то есть зависит от ускорения.

Аналогичный эффект в преобразованиях Галилея отсутствует в силу того, что в преобразованиях Галилея изменение координаты времени отсутствует ($t'=t$) и изменение масштабов координаты $x$ также отсутствует: $$x'=x+vt$$ Поскольку движение точек преобразуемой системы отсчета $X$ зависит от того, с каким ускорением мы его наблюдаем, этот эффект является сугубо кинематическим, равно как и движение по окружности большого радиуса - при увеличении угловой скорости относительного наблюдения мы получим скорость точек окружности больше скорости света $c$.

Безусловно, определенный интерес может представлять наблюдение звезд не инерциально движущимся прибором, а прибором движущимся с некоторым ускорением. В случае если прибор движется с ускорением, есть возможность определить, является ли это движение движением согласно преобразованиям Лоренца или согласно преобразованиям Галилея.

В статье не рассматривалось выражение ускорения $$a=\frac{d^2x}{dt^2}$$ или $$\frac{d^2x'}{dt'^2}$$ и все упоминания что $\dot{\psi}\ne 0$ относятся лишь к ситуации постоянства параметра преобразования Лоренца $\psi$ как определяющего скорость относительного движения.