Про корень из -1

Корень из -1 - бывает или не бывает? Если не бывает, то почему? Если бывает, то что это? Какими они бывают? Попробуем разобраться.

Положим, что число $a$ равно 1. Тогда в квадрате оно равно 1. Положим, что число $a$ равно -1. Тогда в квадрате оно равно тоже 1. Получается, что какое число ни выбирай, положительное ли, отрицательное, или 0, в квадрате все равно будет положительное число, и не бывает таких чисел, которые в квадрате дают отрицательную величину. В математике, проще говоря, этот факт формулируется проще: корень квадратный из отрицательного числа в множестве действительных чисел не существует. Поэтому правильный ответ, бывает или не бывает, такой: в действительных числах не бывает.

Если же числа принадлежат другой алгебре, то вполне возможно, что корень из -1 существует, но не из -1 как действительного числа, а из -1, кк некоего ближайшего аналога, в выбранной алгебре, тому что в действительных числах означает символ -1.

Положим, что в расширенной, или составной, алгебре число этой алгебры состоит из 2-х частей: $$a=\left(a_0,\ a_1\right)$$ и сложение двух таких чисел определяется как простое покомпонентное сложение: $$a+b=\left(a_0+b_0,\ a_1+b_1\right)$$ Операция умножения в таких алгебрах может быть определена по-разному. Соответственно этому правилу (если конечно это новое правило, и не эквивалентно одному из ранее введенных) будет соответствовать новая алгебра.

Для алгебры комплексных чисел правило умножения определяется как $$(a_0,\ a_1)(b_0,\ b_1)=(a_0b_0-a_1b_1,\ a_0b_1+a_1b_0)$$ Если у таких чисел на первом месте стоит 1, а на втором 0, то $$(a_0,\ a_1)(1,\ 0)=(a_0,\ a_1)$$ И в отношении умножения величина $(1,\ 0)$ ведет себя как 1 в действительных числах.

одновременно с тем, если в таких числах на первом месте стоит 0, а на втором 1, то в операции умножения они ведут себя чуть иначе: $$(0,\ 1)(0,\ 1)=(-1,\ 0)$$ То есть такое число, при возведении в квадрат, дает число аналогичное -1 алгебры действительных чисел.

Первое из таких чисел, $(1,\ 0)$, для краткости называют единицей или подразумевают, что использование просто числа 1 в такой алгебре автоматически подразумевает использование в реальности числа $(1,\ 0)$. И действительно, для такой составной алгебры мы определяли операции сложения и умножения не с действительными числами, а с числами той же составной алгебры. И, вообще говоря, произведение $$(0,\ 1)(0,\ 1)=(-1,\ 0)$$ дает не действительную -1, а комплексную -1. Поэтому правильный ответ, бывает или не бывает, такой: если -1 это число алгебры комплексных чисел, то корень из -1 бывает, и равен $(0,\ 1)$.

Не во всякой составной алгебре $(a_0,\ a_1)$ бывает корень квадратный из числового аналога величины -1, и это зависит от правила определения умножения в таоой алгебре. Положим, что правило умножения задано в виде $$(a_0,\ a_1)(b_0,\ b_1)=(a_0b_0+a_1b_1,\ a_0b_1+a_1b_0)$$ В такой алгебре ни число $(1,\ 0)$ ни число $(0,\ 1)$, ни какое другое в квадрате не дает аналога -1. Зато, что любопытно, второе из них, число $(0,\ 1)$ дает $$(0,\ 1)(0,\ 1)=(1,\ 0)$$ То есть в этой алгебре не 2, а 4 квадратных корня из 1: $$(1,\ 0)$$ $$(-1,\ 0)$$ $$(0,\ 1)$$ $$(0,\ -1)$$ Существуют также алгебры, состоящие не из 2-х, а из большего количества компонент. В частности, может быть интересна алгебра кватернионов. Обозначим отдельные составляющие алгебры: $$(1,\ 0,\ 0,\ 0) = 1$$ $$(0,\ 1,\ 0,\ 0) = i$$ $$(0,\ 0,\ 1,\ 0) = j$$ $$(0,\ 0,\ 0,\ 1) = k$$ И используем определение их произведений $$ii=jj=kk=-1$$ $$ij=k=-ji$$ $$jk=i=-kj$$ $$ki=j=-ik$$ В такой алгебре аналог величины -1 действительных чисел дает сразу 3 такие мнимые единицы, но не только они. Любая величина $$xi+yj+zk$$ при возведении в квадрат дает аналог -1, или величину $(-1,\ 0,\ 0,\ 0)$, если для значений компонент $x$, $y$ и $z$ выполняется условие: $$x^2+y^2+z^2=1$$ Иначе говоря, если в алгебре комплексных чисел корню из комплексной -1 (или из величины $(-1,\ 0)$) соответствует лишь два числа $$\pm(0,\ 1)$$ то в алгебре кватернионов корню из кватернионной -1 (или из величины $(-1,\ 0,\ 0,\ 0)$) соответствует точка, лежащая на 3-х мерной сфере $$x^2+y^2+z^2=1$$ Поэтому правильный ответ на вопрос, бывает или не бывает, такой: если -1 это число в алгебре кватернионов, то бывает, их бесконечно много и все они лежат на 3-х мерной сфере единичного радиуса.

Мы увидели 4 ответа на вопрос - бывает или не бывает корень квадратный из -1, и все они касаются определенных алгебр. Ответ, действительно, зависит от того, в какой алгебре ищется корень из -1. С другими алгебрами ситуация точно такая же, нужно рассматривать свойства отдельно выбранной алгебры и для нее уже определить, есть в ней корень из -1 или нет.

В частности, если рассмотреть алгебру квадратных матриц $$a=\left(\begin{array}{rr}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right)$$ то в ней единице действительных чисел соответствует матричная единица, или единичная матрица $$E=\left(\begin{array}{rr}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$$ Такая матрица при умножении на любую другую квадратную матрицу дает результат такой же, как и умножение на 1: $$EA=AE=A$$ И в такой алгебре квадратных матриц 2x2 есть матрица $$I=\left(\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right)$$ имеющая свойство: $$I^2=\left(\begin{array}{rr}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right)$$ или, иначе говоря, $I^2=-E$ и такая матрица является квадратным корнем из -1, где -1 задано в алгебре квадратных матриц 2x2, как соответствующий элемент матричной алгебры.