четверг, 8 марта 2018 г.

О нетривиальном нуле тернарной алгебры

Среди гиперкомплексных алгебр есть алгебра, которую одни считают самостоятельной гиперкомплексной алгеброй, а другие лишь изоморфизмом алгебры комплексных чисел. Хотя алгебра является тернарной и содержит 3 базисные единицы, определенная их комбинация вызывает интерес. Одни её считают нулем, другие считают, что она не равна нулю. Попробуем разобраться.

Тернарная алгебра, о которой идет речь, есть гиперкомплексная алгебра с тремя мнимыми единицами 1, $i$, $j$ и следующими законами сложения и умножения: $$ a_x+ia_y+ja_z+b_x+ib_y+jb_z=(a_x+b_x)+i(a_y+b_y)+j(a_z+b_z) $$ $$ 1\cdot 1=1 $$ $$ 1\cdot i = i $$ $$ 1\cdot j = j $$ $$ i \cdot j = 1 $$ $$ i \cdot i = j $$ $$ j \cdot j = i $$ В этой алгебре нетривиальным нулем является число $$ \alpha = 1+i+j $$ Формально, пока пространство остается линейным с линейно-независимыми базисными единицами, эти единицы 1, $i$, $j$ являются линейно-независимыми и никакая их линейная комбинация не может быть равна 0.

Но алгебра есть не только числа с операцией сложения, алгебра добавляет линейному пространству операцию умножения. Исследуем произведение числа $$ \alpha = 1+i+j $$ на произвольное число алгебры: $$ (a+ib+jc)(1+i+j)=(a+b+c)(1+i+j) $$ И мы видим, что это число имеет интересную особенность: умножение числа $\alpha$ на любое число равно умножению действительного числа на число $\alpha$. Соответственно, и произведение числа $\alpha$ на само себя равно: $$ \alpha^2=3\alpha $$ Решая это уравнение относительно $\alpha$, получим: $$ \alpha^2-3\alpha=0 $$ $$ (\alpha-3)\alpha=0 $$ Здесь формально есть 2 корня: $\alpha=3$ и $\alpha=0$. Сопоставим их с ранее полученным уравнением: $$ x\cdot\alpha = C_x\alpha $$ где $C_x$ есть сумма компонентов числа $x$.

Если подставим первый корень $(\alpha=3)$, то получим неверное уравнение, и значит $\alpha\neq 3$. Если подставим второй корень $(\alpha=0)$, то получим верное уравнение.

Таким образом, введение операции умножения с описанным выше правилом вводит линейную зависимость между базисными единицами алгебры, поскольку величина $$ \alpha=1+i+j $$ ведет себя как нулевая величина и, следовательно, существует равная нулю линейная комбинация базисных мнимых единиц.

Формально говоря, вышеописанная тернарная алгебра изоморфна алгебре комплексных чисел с заменой: $$ 1 \rightarrow 1 $$ $$ i \rightarrow exp(i\frac{2\pi}{3}) $$ $$ j \rightarrow exp(i\frac{4\pi}{3}) $$ Здесь слева мнимые единицы тернарной алгебры, справа - мнимая единица алгебры комплексных чисел.

У величины нуля есть не только свойство относительно операции умножения $$ x \cdot 0 = 0 $$ но и свойство относительно операции сложения: $$ x + 0 = x $$ где $x$ это произвольное число.

Для изучения как ведет себя величина $\alpha$ при сложении положим, что для всех чисел алгебры мы выполнили замену: $$ x \rightarrow x +nC_x\alpha $$ где $n$ некое действительное число и $C_x$ сумма компонент числа $x$/

Для суммы чисел $x$ и $y$ очевидно выполняется равенство: $$ x+y \rightarrow x+y + n(C_x+C_y)\alpha $$ Найдем произведение чисел $x$ и $y$: $$ x\cdot y \rightarrow (x+nC_x\alpha)(y+nC_y\alpha)= $$ $$ = xy+x\alpha nC_y + y\alpha nC_x+n^2C_xC_y\alpha^2 $$ Учтем выведенное ранее равенство $\alpha^2=3\alpha$: $$ x\cdot y \rightarrow xy+C_xC_y\alpha(2n+3n^2) $$ Если положить что $2n+3n^2=n$, то имеем два варианта: $n=0$ и $n=-\frac{1}{3}$.

При этих значениях мы получаем замену каждого числа алгебры $x$ на $x+nC_x\alpha$ по правилам: $$ x\rightarrow x+nC_x\alpha $$ $$ x+y\rightarrow x+y+n(C_x+C_y)\alpha $$ $$ x\cdot y \rightarrow x\cdot y +nC_xC_y\alpha $$ И вместо операций сложения и умножения получаем для такой замены аналогичные операции в довеске. Эти дополнительные операции сложения и умножения никак не влияют на исходные операции сложения и умножения, и никак с ними не пересекаются. Таким образом, этот довесок с точки зрения операции сложения также никак не изменяет исходное число и величина $\alpha$ ведет себя как величина 0.

Комментариев нет:

Отправить комментарий